n→∞となっていますが、∞以外の場合も成り立ちます。

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十分大きい$n$においてはさみうちの原理}}) \\\\
[2]\ \ 十分大きい$n$においてue}{追い出しの原理}})
これらの原理は,\ \bm{b_n<a_n<c_n\,のように等号がなくても成り立つ.} \\[.2zh] また,\ n→\,\infty\,とするのであるから,\ 小さいnにおける大小関係は影響しない. \\[.2zh] 当たり前にも思える原理だが,\ 証明は大学の範疇である.
次の極限を求めよ.\ ただし,\ $\gauss{x}$は$x$を超えない最大の整数を表す. \\[1zh] (1)\ \ はさみうちの原理が特に役立つのは,\ 三角関数が絡む極限の問題である. \\[.2zh] 逆数をとり
(4)\ \ \gauss{ }はガウス記号であり,\ 例えば\ \gauss{1}=1,\ \gauss{3.2}=3,\ \gauss{-1.6}=-\,2である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{ガウス記号の扱いの1つに「不等式を作る」}というものがあった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ある実数をxとすると,\ \gauss x\leqq x<\gauss x+1\ \cdots\maru1が成立する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x=2.5のとき,\ 2=\gauss{2.5}\leqq2.5<\gauss{2.5}+1=3\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \maru1は\ \gauss x\leqq xかつx<\gauss x+1であり,\ 中央を\gauss xにすると\ \bm{x-1<\gauss x \leqq x}\ となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ガウス記号の極限は,\ この不等式を利用して求めるのが基本である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一方は等号がつかないが,\ はさみうちの原理は等号の有無によらず成り立つのであった.
自然数$n$に対して$3^n$の桁数を$k_n$で表すとき,\ $\dlim{n\to\infty}\bunsuu{k_n}{n}$を求めよ.    [慶応大] \\
\bm{桁数は10^m\,の不等式で扱う}のが基本である.\ 例えば,\ 「Aは3桁」ならば,\ 10^2\leqq A<10^3\ とできる. \\[.2zh] 今,\ 「3^n\,がk_n\,桁」であるから,\ 10^{k_n-1}\leqq3^n<10^{k_n}\,とできる. \\[.2zh] 後は,\ 各辺の対数をとり,\ k_n\,についての不等式を作ればよい. \log_{10}10^{k_n-1}\leqq\log_{10}3^n<\log_{10}10^{k_n}
(1)\ \ n個の項の和だが,\ どの項も\,\bunsuu{1}{n^2}\,より小さいので,\ 全体は\ \bunsuu{1}{n^2}\cdot nよりも小さいはずである. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 言われたら簡単だが,\ 初見でこのような技巧的な解法をとるのは難しく,\ 応用性にも欠ける. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 別解の考え方も習得しておく必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 整数分野の発想に,\ \bm{「全ての文字を最大数または最小数で置き換えたものではさむ」}があった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x\leqq y\leqq zのとき\ x+x+x\leqq x+y+z\leqq z+z+z\,としてx+y+zをはさみこめる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 同じ発想で不等式を作る.\ \bunsuu{1}{n^2+1},\,\cdots,\,\bunsuu{1}{n^2+n}\ の最小数は\,\bunsuu{1}{n^2+n},\ 最大数は\,\bunsuu{1}{n^2+1}\,である. \
(2)\ \ (1)の別解の発想がなければ,\ 下限の\,\bunsuu{n}{\ruizyoukon{n^2+n}}\ を作り出すことが困難である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 同じ発想で上限を\ \bunsuu{1}{\ruizyoukon{n^2+1}}\cdot n\ としても求めてもよい. \\\\
(3)\ \ 下限を最小数\,\bunsuu{1}{\ruizyoukon n}\,で置き換えたものにすると,\ 無限大に発散することがわかる.