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指数関数と対数関数の極限は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{グラフをイメージ}}して考える. \\[.2zh] まずは,\ グラフから明らかな基本の8つの極限を確認してほしい. \\\\
指数関数と対数関数のグラフは常識であり,\ 瞬時に描けるようにしておかなければならない. \\[.2zh] 底が1より大きいか小さいかでグラフが大きく変わるので注意する. \\[.2zh] a>1と0<a<1では,\ y=a^x\,はy軸対称,\ y=\log_a xはx軸対称の関係にある. \\[.2zh] また,\ y=a^x\,とy=\log_a xは逆関数の関係にある.\ 図形的には,\ y=xに関して対称となる.
\dlim{x\to-\infty}a_x=0より\,\bunsuu00\,の不定形となるから,\ 変形が必要である. \\[.6zh] \{r^n\}を含む数列の極限では,\ 分母の公比の絶対値が最大の項で分母分子を割った. \\[.2zh] \zettaiti r<1ならばn\to\infty\,のときr^n\to0となり,\ 不定形が解消されるからであった. \\[.2zh] 本問はx\to-\,\infty なので,\ a^x\to0とするためにはa>1でなければならない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{分母の底が最小の項3^x\,で分母分子を割る}ことになる.
\infty-\infty\,の不定形であるから,\ \{r^n\}を含む数列の極限の場合と同様,\ \bm{底が最大の項をくくり出す.} \\[.2zh] 2^{2x+1}=2\cdot2^{2x}=2\cdot4^x\,より,\ 底が最大の項は2^{2x+1}\,であることに注意する. 
単に\,\bunsuu1x\to0ではなく,\ \bunsuu1x\to+\,0\ (正の値をとりながら0に近づく)であることにまで意識を払う. \\[.6zh] わかりにくければ,\ \bunsuu1x=tとおく.\ x\to\infty\,のときt\to+\,0より,\ \dlim{t\to+0}\log_2t=-\,\infty\ となる.
\bunsuu1x\,はx=0で不連続であり,\ \bm{右側極限x\to+\,0と左側極限x\to-\,0が異なる.} \\[.6zh] よって,\ 場合分けを要する.\ わかりにくければ,\ \bunsuu1x=t\,とおく. \\[.6zh] \bunsuu{1}{(x-1)^2}\,はx=1で不連続だが,\ x\neqq1のとき(x-1)^2>0である. \\[1zh] よって,\ 左側からも右側からも正の値をとりながら\,\infty\,に発散するので,\ 場合分けは必要ない. \\[.2zh] \bunsuu{1}{(x-1)^2}=t\,とおくと,\ x\to1のときt\to\infty\,より,\ \dlim{t\to\infty}\left(\bunsuu12\right)^t=0\,となる.
単純にx\to\infty\,とすると\,\infty+\log_2(\infty-\infty)\,となり,\ このままでは極限を判断することができない. \\[.2zh] まず,\ 対数の性質\ k\log_aM=\log_aM^k,\ \ \log_aM+\log_aN=\log_aMN\,を用いて1つの対数にする. \\[.2zh] すると,\ 真数部分の極限に帰着する.\ 根号を含む\,\infty-\infty\,の不定形は,\ \bm{有理化}が有効であった. \\[.2zh] \bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となるから,\ \bm{分母の最高次の項\,\ruizyoukon x\,で分母分子を割る.}
指数関数a^x\,は,\ \bm{底が1より大きいか小さいかで極限が変わる}ので場合分けを要する. \\[.2zh] 本問では,\ x\to-\,\infty\,であることにも注意しなければならない. \\[.2zh] a>1のとき\dlim{x\to-\infty}a^x=0,\ \ 0<a<1のとき\dlim{x\to-\infty}a^x=\infty\,である. \\[.8zh] さらに,\ a^{-x}=\left(\bunsuu1a\right)^x\,であり,\ a>1のとき0<\bunsuu1a<1より\dlim{x\to-\infty}a^{-x}=\infty\,である. \\[.8zh] また,\ 0<a<1のとき\,\bunsuu1a>1より,\ \dlim{x\to-\infty}a^{-x}=0\,である. \\\\
a>1のとき\,\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となるから,\ \bm{分母の底が最小の項a^{-x}=\left(\bunsuu1a\right)^xで分母分子を割る.} \\[.8zh] a^x\div a^{-x}=a^{x-(-x)}=a^{2x}\,であり,\ \dlim{x\to-\infty}a^{2x}=0\,である. \\\\
0<a<1のとき,\ \bunsuu{0}{\infty+0}=\bunsuu{0}{\infty}=0となる.\ \bunsuu{0}{\infty}\,は不定形ではなく,\ 0\times\bunsuu{1}{\infty}=0\times0=0である. \\[.8zh] わかりにくければ,\ 0に収束するよう分母の底が最小の項a^x\,で分母分子を割り,\ \bunsuu{0}{2+0}=0とする. \\\\ なお,\ a=1のときは当然a^x=a^{-x}=1である. \\[1zh] x\to-\,\infty\,はややこしいので,\ 最初にx=-\,tと置換し,\ \dlim{t\to\infty}\bunsuu{a^t}{2a^{-t}+3a^t}\,として考えるのもよい. \end{array}}\right]$}} \\
\bm{0<a<1}のとき & \dlim{x\to\infty}\log_a\bunsuu{1}{x+\ruizyoukon{x^2-1}}=\bm{\infty} \end{cases}$} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} 真数部分が\,\infty-\infty\,の不定形であるから\bm{有理化}すると,\ \dlim{x\to\infty}\bunsuu{1}{x+\ruizyoukon{x^2-1}}=+\,0\,となる. \\[.8zh] 対数関数は,\ \bm{底が1より大きいか小さいかで極限が変わる}ので,\ 場合分けして答える. \\[.2zh] \bunsuu{1}{x+\ruizyoukon{x^2-1}}=t\,とおくと,\ \dlim{t\to+0}\log_at=-\,\infty\ (a>1),\ \ \dlim{t\to+0}\log_at=\infty\ (0<a<1)\,である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\  (9)\ \ $\dlim{x\to\infty}(3^x+2^x)^{\frac1x}=\dlim{x\to\infty}\textcolor{red}{(3^x)^{\frac1x}\left\{1+\left(\bunsuu23\right)^x\right\}^{\frac1x}}=3(1+0)^0=\bm{3}$ \\[1zh]  \betu\ \ $x>0$のとき $3^x<3^x+2^x<3^x+3^x=2\cdot3^x$\ より $\textcolor{red}{3<(3^x+2^x)^{\frac1x}<2^{\frac1x}\cdot3}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで $\textcolor{cyan}{\dlim{x\to\infty}2^{\frac1x}\cdot3}=2^0\cdot3=1\cdot3=\textcolor{cyan}{3}$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore\ \ はさみうちの原理より \dlim{x\to\infty}(3^x+2^x)^{\frac1x}=\bm{3}$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} 有名問題であり,\ 1つのパターンとして習得しておくとよい. \\[.2zh] \infty^0\,の不定形であり,\ \bm{底が最大の項をくくり出す}ことで,\ 不定形を解消できる. \\[.2zh] はさみうちの原理を用いる別解も考えられる.\ x\to\infty\,より,\ x>0として考える. \\[.2zh] x>0のとき2^x<3^x,\ \ x<0のとき2^x>3^x\,だからである.