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例えば,\ $\dlim{n\to\infty}(n^3+n^2)=\infty$\ は,\ 容易に納得できるだろう. \\[.2zh] $n→\infty\,のときn^3→\,\infty,\ n^2→\,\infty\ であり,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{\infty+\infty も当然\infty となる}}はずである.$ \\[1zh] では,\ (1)はどうだろうか.\ $n→\,\infty$のとき$n^2→\,\infty,\ n^3→\,\infty$より,\ $\infty-\infty$の計算になる. \\[.2zh] これを見て,\ $\infty-\infty=0$とするのは絶対にやめてほしい. \\[.2zh] 実は,\ $一口に\infty といっても,\ \bm{\textcolor{magenta}{\infty の強さには違いがある.}}$ \\[.2zh] よって,\ $\bm{\textcolor{red}{\infty-\infty は不定形の極限}}$と呼ばれ,\ このままでは極限が定まらない. \
このように,\ $\bm{\textcolor{cyan}{\infty-\infty は,\ 0,\ \infty,\ さらにはそれ以外にもなりうる}}のである.$ \\[1zh] また,\ $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{\infty}{\infty}\,も不定形}}である.\ 例えば,\ \dlim{n\to\infty}\bunsuu{n}{n}=1,\ \dlim{n\to\infty}\bunsuu{n^2}{n}=\dlim{n\to\infty}n=\infty$ である. \\[.5zh] 分子と分母のどちらの無限大が強いかによって,\ 極限が変わってくるわけである. \\[1zh] さらに,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{\infty\cdot(定数)は\infty}} だが,\ \bm{\textcolor{red}{\infty\cdot0だけは不定形}}である.$
なお,\ $\bunsuu{\infty}{\infty}=\infty\cdot\bunsuu{1}{\infty}=\infty\cdot0$ということである. \\[2zh] 不定形になる場合,\ \textbf{\textcolor{red}{不定形ではない形に変形してから極限にとばす}}必要がある. \\[.2zh] 変形方法も含めてまとめると次のようになる. \\[1zh] 明らかに\infty} \\[.2zh] \textcolor{Purple}{\infty-\infty} & \textcolor{cyan}{不定形}\ :\ \textcolor{red}{最高次の項をくくり出す.} \\[.2zh] \textcolor{Purple}{\infty\times\infty} & \textcolor[named]{ForestGreen}{明らかに\infty} \\[.2zh] \textcolor{Purple}{\infty\div\infty} & \textcolor{cyan}{不定形}\ :\ \textcolor{red}{\underline{\textbf{分母}}の最高次の項で,\ 分母・分子を割る.}
\bm{最高次のn^3\,をくくり出す}と,\ \infty\cdot(定数)となるから,\ 結局\infty である. \\[.2zh] \infty-\infty =\infty\,となったのは,\ \bm{\infty\ の強さがn^3\gg n^2}\,だからである. \\[.2zh] これは,\ 直感的にはn^3\,があればn^2\,を無視してよいことを意味する. \\[.2zh] n\to\infty の世界では,\ n^2\,などn^3\,に比べると無同然なのである. \\[.2zh] ただし,\ 直感だけで極限を判断するのは危険なので,\ きちんと計算で確認しなければならない. \\[.2zh] また,\ もし\dlim{n\to\infty}(2n^3+3n^2)ならば,\ 変形しなくても即座に\infty である. \\[.2zh] \infty+\infty\ は不定形ではなく,\ 明らかに\infty なので変形する必要は全くない. \\[.2zh] 整式ならば常に最高次の項をくくり出す必要があると誤解しないでもらいたい. \\[.2zh] あくまでも,\ \bm{不定形ではない形に変形するための変形}なのである. \\[1zh] \infty\,の四則演算は定義されていないので,\ 答案に\ \infty\pm\infty,\ 0\times\infty\ のような記述をしてはいけない. \\[.2zh] よって,\ 途中過程は書かずに一発で答えの\infty を書けばよい.
\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となる分数式なので,\ \bm{分母の最高次の項n^2\,で分母・分子を割る.} \\[.6zh] \infty の強さはn^2\gg nなのでn^2\,以外は無視でき,\ 直感的に答えが予想できる.
単純にn→\,\infty\,とすると\ \infty-\bunsuu{\infty^2}{\infty}=\infty-\infty\ となるから,\ 不定形である. \\[.6zh] 通分した後,\ 分母の最高次の項nで分母・分子を割ればよい.
2次式であるから最高次の項n^2\,をくくり出すが,\ 展開する必要はない. ,ずつ各括弧内に入れるとよい.
分母は2次式であるから,\ 最高次の項n^2\,で分母分子を割ればよい. \\[.2zh] このとき展開する必要はなく,\ \bunsuu{(n+1)(n+2)}{n^2}=\left(\bunsuu{n+1}{n}\right)\hspace{-.4zw}\left(\bunsuu{n+2}{n}\right)と考えればよい.