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次の極限を求めよ.無理関数の極限}}}} \\\\[.5zh] $\bm{\textcolor{ForestGreen}{\infty-\infty や\,\bunsuu00\,の不定形}}は,\ 数列の極限と同様,\ \bm{\textcolor{red}{分母や分子を有理化}}して解消できる.$ \\[.6zh] また,\ $\bm{\textcolor{ForestGreen}{\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形}}は,\ \bm{\textcolor{red}{分母の最高次の項で分母分子を割る}}ことによって解消できる.$ \\[.6zh] ただし,\ $\bm{\textcolor{magenta}{無理関数においてx\to-\,\infty とする場合,\ 大きな落とし穴がある.}}$ \\[.2zh] 今まで深く考えることなく,\ 次のような変形を行ってきたかもしれない. \\
この変形は,\ $x\to\infty\ (x\geqq0)$ならば正しいが,\ $\bm{\textcolor{magenta}{x\to-\,\infty\ (x\leqq0)ならば誤り}}となる.$ \\[.2zh] 普段変形するときに正負の考慮を欠いていた人は,\ たまたま合っていただけなのである. \\\\
とにかく,\ 無理関数の$x\to-\,\infty$の極限は,\ 以上の落とし穴がミスのリスクを高くする. \\[.2zh] そこで,\ $\bm{\textcolor{cyan}{最初にx=-\,tと置換する}}$ことで,\ リスクを取り除くのが普通である. \\[.2zh] $x=-\,t$とすると,\ $\bm{\textcolor{cyan}{x\to-\,\infty のときt\to\infty}}$となり,\ 通常通りに扱える. \\[.2zh] もちろん,\ 置換は必須ではなく,\ 正しく変形できるならばそのほうが速い.
単純に1を代入してみると\,\bunsuu00\,の不定形となるので,\ \bm{分子を有理化}する. \\[.6zh] すると,\ x-1が約分でき,\ 不定形が解消される. \\[.2zh] 不定形だから有理化したのであり,\ 不定形でなければ単純に代入して終わりである.
単純にx\,→\,\infty\,とすると\,\infty-\infty\,の不定形となるから,\ \bm{分子を有理化}する. \\[.2zh] 整理していくと,\ 今度は\,\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となるので,\ \bm{分母の最高次の項xで分母分子を割る.} \\[.6zh] 実は,\ x\,→\,\infty\,のとき\,\ruizyoukon{x^2-4x}=\ruizyoukon{(x-2)^2-4}\kinzi x-2を考慮すると,\ 極限を予想できる. \\[.2zh] 繰り返すが,\ 不定形だから変形したのであり,\ 不定形でなければ変形する必要はない.
単純に0を代入してみると\,\bunsuu00\,の不定形となるので,\ \bm{分母を有理化}する.
単純に0を代入してみると\,\bunsuu00\,の不定形となるので,\ \bm{分母を有理化}する. \\[.8zh] 3乗根は,\ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\,を利用すると有理化できる.
単純にx\,→\,-\infty\,とすると\,\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となるから,\ \bm{分母の最高次の項で分母分子を割る.} \\[.6zh] 最初に\bm{x=-\,tと置換してt\to\infty とする}ことで,\ ミスのリスクを避けることができる. \\[.2zh] ミスしない自信があるのならば,\ 別解のように解答すれば済む.
(6)\ \ $\textcolor{cyan}{x=-\,t}とおくと x\to-\,\infty のとき 
単純にx\,→\,-\infty\,とすると,\ \infty-\infty\,の不定形となるから,\ \bm{分子を有理化}する. \\[.2zh] もしx\,→\,\infty\,ならば,\ 有理化せずとも明らかに\,\dlim{x\to\infty}(x^2+x\ruizyoukon{x^2-2}\,)=\infty\,である. \\[.6zh] 有理化した後整理すると\,\bunsuu{\infty}{\infty}\,の不定形となるから,\ \bm{分母の最高次の項t^2\,で分母・分子を割る.}