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次の無限等比数列が収束するような$x$の範囲を求めよ.\ そのときの極限値も求めよ. \\[1zh] {無限等比数列の収束条件}}}} \\\\[.5zh] 無限等比数列$\{r^n\}$の収束条件は,\ 次に示すとおり$\bm{\textcolor{red}{-\,1<r\leqq1}}$である. \\[.2zh]  ちなみに,\ $r>1$のとき$\infty$に発散,\ $r\leqq-\,1$のとき振動するのであった. \\[1zh] u{r^n}の極限}  
一方,\ 無限等比数列$\{ar^{n}\}$の収束条件は,\ $\bm{\textcolor{red}{a=0\ または\ -1<r\leqq1}}$である. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{\suuretu{ar^n}の極限} 
(1)\ \ 収束条件は $\textcolor{red}{-\,1<\bunsuu{2x}{x^2+1}\leqq1}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $-\,1<\bunsuu{2x}{x^2+1}$ より $(x+1)^2>0$   よって $x\neqq-\,1$\ $\cdots\maru1$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\bunsuu{2x}{x^2+1}\leqq1$  より $(x-1)^2\geqq0$   これはすべての実数$x$で成り立つ.\ $\cdots\maru2$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1,\ \maru2の共通範囲は $\textcolor{cyan}{x\neqq-\,1}$   また,\ \maru2の等号は\textcolor{magenta}{$x=1$}のとき成立する. \\[1.5zh] x=1のとき & 極限値1 \\[.2zh] 収束条件は-1<r\leqq1とわかっているので,\ 実質的には単に不等式の問題である. \\[.2zh] A<B<C型の連立不等式は,\ A<BかつB<Cと考えて解けばよい. \\[.2zh] 常にx^2+1>0なので,\ 両辺にx^2+1を掛けて普通に分母を払うことができる. \\[.2zh] 重解をもつタイプの2次不等式に帰着するので,\ グラフで図形的に考えて解く. \\[.2zh] r=1のときと-1<r<1のときで極限値が異なるので,\ 忘れずに場合分けして答える.
x=-\,1のとき & 極限値-1 \\[.2zh] x=2のとき & 極限値2 \\[.2zh] -\,1<x\leqq0,\ 1<x<2のとき & 極限値0
\{ar^n\}型の無限等比数列なので,\ a=0,\ つまりx=0のときも収束することに注意する. \\[.2zh] また,\ x=-\,1,\ 2のときの極限値を1としないように注意する. \\[.2zh] さらに,\ a=0のときと-1<r<1のときは極限値0としてまとめて答えることができる.
\betu\ \ [分数不等式の部分のみ] 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}:関数分野にある通り,\ 分数不等式は思いの外厄介である. \\[.2zh] 分母が正とは限らないので,\ 安易に払うことはできない(もし負数だと不等号が逆転する). \\[.2zh] 分母の正負で場合分けしてもよいが,\ 両辺に2乗(当然正)を掛けて同値変形する解法が推奨される. \\[.2zh] -\,(2x-1)^2<(x+4)(2x-1)は展開して整理し直す必要はなく,\ このまま因数分解すればよい. \\[.2zh] (2x-1)\{-(2x-1)-(x+4)\}<0\ \Longleftrightarrow (2x-1)(-\,3x-3)<0\ \Longleftrightarrow\ (2x-1)(x+1)>0 \\[.2zh] 2次不等式は,\ x^2\,の係数が正になるように変形してから解くべきである. \\[.2zh] つまり,\ 「(2x-1)(-\,3x-3)<0より\,\bunsuu12<x<1」などとしてはならない. \\[.6zh] \bunsuu AB<C\ \Longleftrightarrow\ AB<CB^2\ だが,\ \bm{\bunsuu AB\leqq C\ \Longleftrightarrow\ AB\leqq CB^2\ \ かつ\ \ B\neqq0}であることに注意. \\[.6zh] B=0のとき,\ \bunsuu AB\leqq Cは成り立たないがAB\leqq CB^2\,は成り立つため,\ B\neqq0が加わるのである. \\\\
別解として,\ 分数不等式をグラフで図形的に解く解法も示した. \\[.2zh] y=\bunsuu{ax+b}{cx+d}\,は,\ 分子に分母と同じ形を無理矢理作ることで基本形y=\bunsuu{k}{x-p}+q\,に変形できる. \\[.6zh] これは,\ x=p,\ y=qを漸近線にもつ双曲線である.