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極限は,\ 次の5つに分類されるのであった. \\[.2zh] よって,\ $r$が具体的な数値でない$\{r^n\}$の極限の問題は,\ 場合分けして答えなければならない. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{\suuretu{r^n}の極限}  振動する}\ (極限なし)振動する}\ (極限なし)
{収束する}}$ \\\\\\\\\\\\
ただし,\ この5つの場合分けは実用性に欠ける.\ 実戦的には,\ 次の視点が重要である.
一般化すると ,\ とにかく\,\infty\,があると不定形になることが多い. \\[.6zh] 不定形を解消するため,\ \bm{-1<(公比)<1に変形して0に収束させる}必要が生じる. \\[.2zh] このとき,\ \bm{rに絶対値をつけて場合分けする}のが本質的である.
分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割るのが基本であった. \\[.2zh] しかし,\ 当然\zettaiti rと3の大小関係は場合によるから,\ 場合分けする必要が生じる. \\[.2zh] このとき,\ 絶対値を付けて場合分けすると,\ r>3とr<-\,3の場合を分ける必要がなくなる.
\bunsuu{r(r^2)^n-1}{(r^2)^n+1}\,と変形できるから,\ 公比がr^2\,の等比数列の極限の問題である. \\[.8zh] 常にr^2>0より,\ 普通に考えると0<r^2<1,\ r^2=1,\ 1<r^2\,に場合することになる. \\[.2zh] ここで,\ \ruizyoukon{r^2}=\zettaiti r\ より,\ 0<\zettaiti r<1,\ \zettaiti r=1,\ 1<\zettaiti r\,である. \\[.2zh] よって,\ 絶対値をつけて場合分けすることを基本としておけば,\ 結局(1)と変わらない. \\[.2zh] ただし,\ \zettaiti r=1,\ つまりr=1とr=-\,1のときは別個に求める必要がある. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  
公比が\,\bunsuu1r\,の等比数列の極限なので,\ \zettaiti{\bunsuu1r}<1,\ \zettaiti{\bunsuu1r}=1,\ \zettaiti{\bunsuu1r}>1\,と場合分けすることになる. \\[.6zh] \zettaiti{\bunsuu1r}<1,\ つまり\ \zettaiti r>1のとき,\ 0に収束する. \\[.6zh] \zettaiti{\bunsuu1r}=1,\ つまり\ \zettaiti r=1のとき,\ r=1とr=-\,1に分けて考える. \\[.6zh] r=1のときは1に収束するが,\ r=-\,1のとき\left(\bunsuu1r\right)^n=(-\,1)^n\,となるから振動する. \\[.6zh] \zettaiti{\bunsuu1r}>1\,のとき,\ つまり\ \zettaiti r<1のとき,\ -\,1<r<0と0<r<1で場合を分けなければならない. \\[.6zh] 本問は,\ 等比数列を含む極限というよりも,\ 等比数列そのものの極限である. \\[.2zh] よって,\ -\,1<(公比)<1に帰着させることができず,\ 根本に立ち戻る必要がある. \\[.2zh] 公比\,\bunsuu1r>1,\ つまり0<r<1のとき,\ \infty\,に発散する. \\[.8zh] 公比\,\bunsuu1r<-\,1,\ つまり-\,1<r<0のとき,\ 振動する.\ 結局,\ r=-\,1の場合とまとめられる. \\\\ r>0とは限らないので,\ 両辺にrを掛けて\,\bunsuu1r>1を1>rとしてはならない. \\[.6zh] r>0とr<0で場合分けして分母を払ってもよいが,\ 両辺にr^2\,(>0)を掛ける方法を推奨したい.
0<\theta<\bunsuu{\pi}{2}\,より\ \sin\theta>0,\ \cos\theta>0\ であるから,\ \sin\theta\,と\,\cos\theta\,の大小関係が問題になる. \\[.6zh] 単位円上の点におけるx座標が\,\cos\theta,\ y座標が\,\sin\theta\,というのが三角比の定義である. \\[.2zh] よって,\ x座標とy座標が等しくなる\,\theta=\bunsuu{\pi}{4}\,のとき,\ \sin\theta=\cos\theta\left(=\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\right)となる. \\[.8zh] 0<\theta<\bunsuu{\pi}{4}\,のとき,\ x座標の方がy座標よりも大きくなるから,\ \cos\theta>\sin\theta\ となる. \\[1zh] 本問は,\ \dlim{n\to\infty}\bunsuu{1-\tan^n\theta}{1+\tan^n\theta}\ という形で問われる可能性もある. \\[.6zh] \tan\theta<1,\ \tan\theta=1,\ \tan\theta>1と場合分けすることになり,\ 結局同じである.
\次の極限を求めよ. はさみうちの原理より 
(2)\ \ \bm{はさみうちの原理を利用する有名問題}であり,\ 一度は経験しておきたい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bm{すべての文字を最大数で置き換えたもので上から評価する}とはさみうちが完成する. \\[1zh] (1),\ (2)ともに答えを\ \bm{\max\{a,\ b\}}\ (a,\ bのうち大きい方を意味する記号)とまとめることができる.