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無限等比級数の収束と発散}}}} \\\\[.5zh] 初項$a$,\ 公比$r$の無限等比数列$\{ar^{n-1}\}$からなる次の無限級数を\textbf{\textcolor{blue}{無限等比級数}}という. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{\retuwa{n=1}{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdot\cdots+ar^{n-1}+\cdots\cdots}}$} \\\\\\
[1]\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{a=0}}$のとき $r$の値によらず\textbf{\textcolor{ForestGreen}{収束}}し,\ その\textbf{\textcolor{red}{和は0}}である. \\\\
[2]\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{a\neqq0}}$のとき $\bm{\textcolor{magenta}{\zettaiti r<1}}\ \ (\bm{\textcolor{magenta}{-\,1<r<1}})$ならば\textbf{\textcolor{ForestGreen}{収束}}し,\ その\textbf{\textcolor{red}{和は}}$\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{a}{1-r}}}$である. \\[.5zh] \phantom{  [1]\ \ $\bm{a\neqq0}$のとき} $\bm{\textcolor{magenta}{\zettaiti r\geqq1}}\ \ (\bm{\textcolor{magenta}{r\leqq-\,1,\ 1\leqq r}})$ならば\textbf{\textcolor{red}{発散}}する. \\\\[1zh] まとめると収束条件が以下となるが,\ 無限等比数列の収束条件との違いに要注意である. \\[.5zh] 無限等比\.{級}\.{数}$\bm{\retuwa{n=1}{\infty}ar^{n-1}}$の収束条件}}  & $\bm{\textcolor{red}{a=0\ \ または\ \ -1<r<1}}$ \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{無限等比\.{数}\.{列}\,$\bm{\{ar^{n-1}\}}$の収束条件}} & $\bm{\textcolor{red}{a=0\ \ または\ \ -1<r\leqq1}}$ \end{tabular} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l} 無限等比級数も当然無限級数であるから,\ その和は部分和S_n\,の極限値として定義される. \\[.2zh] 部分和S_n=a+ar+ar^2+\cdots\cdots+ar^{n-1}\ (等比数列の和)を考える. \\[1zh] [1]\ \ a=0のとき S_n=0 \\[1zh] [2]\ \ a\neqq0のとき \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ (\text{A})\ \ r=1のとき S_n=na  \therefore\ \ \dlim{n\to\infty}S_n=\begin{cases} \infty & (a>0) \\[.2zh] (発散)
\phantom{[1]}\ \ \phantom{(\text{B})\ \ r\neqq1のとき} \text{(\hspace{.15zw}i\hspace{.15zw})}\ \ -1<r<1のとき \dlim{n\to\infty}r^n=0   \therefore\ \ \dlim{n\to\infty}S_n=\bunsuu{a}{1-r} \\[1.5zh] \phantom{[1]}\ \ \phantom{(\text{B})\ \ r\geqq1のとき} \text{(ii)}\ \ r\leqq -\,1,\ 1<rのとき \{r^n\}は発散するから,\ \{S_n\}も発散する. \\[1.5zh] これらをまとめたのが,\ 最初に示したものである. \\[.2zh] 特に,\ \bunsuu{a}{1-r}\,は丸暗記するのではなく,\ 導出を理解しておくべきである. \\\\
r=1のときの無限等比級数と無限等比数列の違いを具体例で確認する.\ a=1とする. \\[.2zh] r=1のとき,\ 無限等比数列\{r^{n-1}\}は,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ \cdots\cdots\ である. \\[.2zh] 当然,\ \dlim{n\to\infty}r^{n-1}=1となる(1に収束). \\[.6zh] 一方,\ 部分和の数列\{S_n\}は,\ S_1=1,\ S_2=1+1=2,\ S_3=1+1+1=3,\ \ \cdots\cdots\ である. \\[.2zh] よって,\ \retuwa{n=1}{\infty}r^{n-1}=\dlim{n\to\infty}S_n=\infty\ となるわけである.
次の無限等比級数の収束,\ 発散を調べ,\ 収束するときはその和を求めよ.\ $a$は定数とする.} \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $3-3+3-3+\cdots\cdots$      
(6)\ \ 初項$a$,\ 公比$a^2$の無限等比級数である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1]\ \ $\textcolor{cyan}{a=0}$のとき 収束し,\ 和は\ 0 \\[.8zh] \phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ $\textcolor{cyan}{a\neqq0}$のとき (\hspace{.15zw}i\hspace{.15zw})\ \ $\textcolor{red}{\zettaiti{a^2}<1}$,\ つまり$-\,1<a<1$のとき収束し,\ 和は\ $\bunsuu{a}{1-a^2}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]\ \ $a\neqq0$のとき} (ii)\ \ $\textcolor{red}{\zettaiti{a^2}\geqq1}$,\ つまり$a\leqq-1,\ 1\leqq a$のとき,\ 発散する. \\\\[.5zh] a=0のとき & 収束し,\ 和は\ 0 \\[.6zh] (1)\ \ 無限級数では,\ 勝手に括弧を付けて(3-3)+(3-3)+\cdots=0などとしてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 初項3,\ 公比-1の無限等比級数とみて収束・発散を判断する. \\[1zh] (2)\ \ 以前までの問題のように,\ 分母と分子を分けて一般項を考えたりする必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問題に「無限\dot{等}\dot{比}級数」とあるから,\ 隣接する項の比が等しいことが既知である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 公比をr=\bunsuu{a_2}{a_1}=\bunsuu53\div\bunsuu52=\bunsuu23\,として求められる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 比はすべて等しいから,\ \bunsuu{a_3}{a_2},\ \bunsuu{a_4}{a_3}\,などでもよく,\ 最も計算が楽なところを選べばよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ \bm{無限等比級数の和の公式\,\bunsuu{a}{1-r}\,には,\ 適用条件\zettaiti r<1があった.} \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{記述試験では適用条件を確認したことの記述がなければ減点される可能性がある.} \\[1zh] (3)\ \ 繰り返しになるが,\ どんな規則の無限級数かを考える必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問題に等比と書いてあるから,\ 比を調べるだけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ r=\bunsuu{a_2}{a_1}=\bunsuu{1-2\ruizyoukon2}{1+\ruizyoukon2}=\bunsuu{(1-2\ruizyoukon2\,)(1-\ruizyoukon2\,)}{(1+\ruizyoukon2\,)(1-\ruizyoukon2\,)}=\bunsuu{5-3\ruizyoukon2}{-\,1}=3\ruizyoukon2-5 \\\\
(4)\ \ 一見ではわかり辛いが,\ 無限等比級数である.\ \bm{\cos n\pi=(-\,1)^n}\,の変換は常識としておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際,\ \cos1\pi=-\,1,\ \ \cos2\pi=1,\ \ \cos3\pi=-\,1,\ \ \cos4\pi=1,\ \ \cdots\cdots\ である. \\[1zh] (5)\ \ とりあえず具体的に書き出してみると,\ 無限等比級数であることがわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin k\pi\ (k:自然数)のとき \sin\pi=\sin2\pi=\sin3\pi=\sin4\pi=\cdots\cdots=0 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin\bunsuu{4k-3}{2}\pi\ (k:自然数)のとき \sin\bunsuu{\pi}{2}=\sin\bunsuu52\pi=\sin\bunsuu92\pi=\sin\bunsuu{13}{2}\pi=\cdots\cdots=1 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \sin\bunsuu{4k-1}{2}\pi\ (k:自然数)のとき \sin\bunsuu{3}{2}\pi=\sin\bunsuu72\pi=\sin\bunsuu{11}{2}\pi=\sin\bunsuu{15}{2}\pi=\cdots\cdots=-\,1 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \left\{\sin\bunsuu{n\pi}{2}\right\}\,は,\ 1,\ 0,\ -\,1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -\,1,\ 0,\ \cdots\cdots\ である. \\\\
(6)\ \ 初項と公比が文字なので,\ 原則に従って場合分けする必要が生じる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \zettaiti{a^2}<1\ \Longleftrightarrow\ -\,1<a^2<1\ \Longleftrightarrow\ a^2<1\ \Longleftrightarrow\ -\,1<a<1 (常に-1<a^2) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \zettaiti{a^2}\geqq1\ \Longleftrightarrow\ a^2\leqq-\,1,\ 1\leqq a^2\ \Longleftrightarrow\ 1\leqq a^2\ \Longleftrightarrow\ a\leqq-\,1,\ 1\leqq a (a^2\leqq-\,1は解なし) \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ a=0と-1<a<0,\ 0<a<1のときをまとめ,\ -\,1<a<1のとき\,\bunsuu{a}{1-a^2}\,とも答えられる.
}等比数列$\{a_n\}$が$\retuwa{n=1}{\infty}{a_n}=\bunsuu32$かつ$\retuwa{n=1}{\infty}{a_n}^2=\bunsuu{9}{2}$を満たすとき,\ $\retuwa{n=1}{\infty}{a_n}^3$を求めよ. \\
{初項を$a\ (\neqq0)$,\ 公比を$r$}とする. \
${a_n}^2=(ar^{n-1})^2=a^2(r^2)^{n-1}$より,\ $\{{a_n}^2\}$は初項$a^2$,\ 公比$r^2$の等比数列である. \\[.2zh] とりあえず,\ \bm{初項と公比を文字で設定する}必要がある. \\[.2zh] (ar^{n-1})^2=a^2r^{2n-2}\,として,\ 初項a^2,\ 公比rと考えないように注意すること. \\[.2zh] 無限等比級数の和の公式\ \bunsuu{a}{1-r}\ を適用することになるが,\ 必ず\bm{収束条件を確認する.} \\[.6zh] \zettaiti r<1かつ\zettaiti{r^2}<1より,\ -\,1<r<1である.\ 当然,\ a_n\,のrはこれを満たさなければならない. \\[.2zh] 1-r\neqq0であるから,\ 両辺を1-rで割ることができる.