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次の無限級数の収束・発散を調べ,\ 収束するものはその和を求めよ.無限級数の収束と発散(応用)}}}} \\\\[.5zh] 本項では,\ $a_n$を階差の形にして和を求める問題の中で,\ 難易度が高めのものを取り扱う. \\[.2zh] 経験があるかないかで大きな差がつくところである. この無限級数は\bm{発散する.}$}
真数部分を通分した後,\ 対数の性質\ \log\bunsuu MN=\log M-\log Nを用いて分解すると階差の形になる. \\[.6zh] \log_2(n+1)-\log_2nのままだと,\ (\log_22-\log_21)+(\log_23-\log_22)+\cdots\ となってわかりにくい. \\[.2zh] そこで,\ あらかじめ-\{\log_2n-\log_2(n+1)\}\ に変形してから和を書き下した. \\[.2zh] 対数の性質\ \log M+\log N=\log MNを用いて合体する別解もある.
この無限級数は\bm{収束し,\ その和は\,\bunsuu18}である.$} \\
分母を因数分解して公式\ \bm{\bunsuu{1}{ab}=\bunsuu{1}{b-a}\left(\bunsuu1a-\bunsuu1b\right)}を適用すると,\ nが約分されて階差の形になる. \
分母が3つの因数の積の場合,\ 公式\ \bm{\bunsuu{1}{abc}=\bunsuu{1}{c-a}\left(\bunsuu{1}{ab}-\bunsuu{1}{bc}\right)}を利用できる.
これは階差の形ではないので,\ 書き下しても間が消えてくれない. \\[.2zh] 実際に書き下してみると,\ \left(\bunsuu{1}{1\cdot2}-\bunsuu{1}{2\cdot4}\right)+\left(\bunsuu{1}{2\cdot3}-\bunsuu{1}{3\cdot5}\right)+\left(\bunsuu{1}{3\cdot4}-\bunsuu{1}{4\cdot6}\right)+\cdots\ である. \\[1.5zh] しょうがないので,\ とりあえず\bm{普通に部分分数分解}することになる. \\[.2zh] 結果だけならば,\ 数値代入法(両辺のnに式が簡単になる値を代入)を用いると素早く得られる. \\
分母を払うと 6=A(n+1)(n+3)+Bn(n+3)+Cn(n+1) \\[.2zh] n=0としてA=2,\ \ n=-\,1としてB=-\,3,\ \ n=-\,3としてC=1を得る. \\[.2zh] \bm{両端の項の係数に着目して中央の項を分割}すると,\ 2組の階差の形を作り出すことができる. \\[.2zh] この無限級数は\bm{収束し,\ その和は2}である.$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
分母が因数分解できる分数にr^n\,が掛けられたタイプがまれに出題される. \\[.2zh] 分子が定数ではないので公式を使っても上手くいかず,\ 普通に部分分数分解することになる. \\[.2zh] \bunsuu{n+3}{n(n+1)}=\bunsuu An+\bunsuu{B}{n+1}\ とおいて分母を払うと n+3=A(n+1)+Bn \\[.8zh] n=0としてA=3,\ \ n=-\,1としてB=-\,2を得る. \\[.2zh] さらに,\ 展開することでうまく階差の形を作り出せる. \\[.2zh] もちろんこれは偶然ではなく,\ そうなるように係数を調整して問題を作成したわけである. \\[.2zh] 0<\bunsuu23<1より\ \dlim{n\to\infty}\left(\bunsuu23\right)^n=0\ であることにも注意して和が求められる.
\centerline{$\therefore\ \ この無限級数は\bm{収束し,\ その和は1}である.$}
典型問題であり,\ このような変形を覚えておくべきである. \\[.2zh] 逆に変形すると,\ 成り立つことはすぐにわかる. \\[.2zh]