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無限級数の収束と発散(基本)}}}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{級数}}    数列$\{a_n\}$の各項を順に加えた式 \\[.5zh] \textbf{\textcolor{blue}{無限級数}}  \textbf{\textcolor{red}{無限数列$\bm{\{a_n\}}$の各項を順に加えた式}} $a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n+\cdots\cdots$ \\[.2zh] $\bm{\textcolor{blue}{\retuwa{n=1}{\infty}a_n}}$と表す. \\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{部分和$\bm{S_n}$}} \textbf{\textcolor{red}{無限級数の初項から第$\bm{n}$項までの和}} $S_n=a_1+a_2+\cdots\cdots+a_n$ \\\\\\
\textbf{\textcolor{red}{部分和の数列$\bm{\{S_n\}:S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots\cdots}$が収束}}し,\ $\bm{\textcolor{red}{\dlim{n\to\infty}S_n=S}}$であるとする. \\
このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{無限級数$\bm{\retuwa{n=1}{\infty}a_n}$は収束}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{その和を$\bm{S}$}}と定義する. \\[.5zh] \textbf{\textcolor{cyan}{部分和の数列$\{S_n\}$が収束しない}}とき,\ 無限級数は\textbf{\textcolor{blue}{発散する}}または\textbf{\textcolor{blue}{和をもたない}}という. \
\bm{無限級数\retuwa{n=1}{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots\cdots\,が,\ 結局は\,\dlim{n\to\infty}S_n\,のこと}だという認識が重要である. \\[1zh] 「なぜ?」と考えるものではなく,\ それが定義である. \\[1zh] ところで,\ 「無限級数の和」「無限級数が和をもたない」という日本語に違和感を覚えないだろうか. \\[.2zh] 無限級数自体も「和」なので,\ 「和の和」「和が和をもたない」ということになってしまう. \\[.2zh] このあたり,\ 言葉の使い方の問題なのであまり深く考えても仕方がない. \\[.2zh] 無限級数に対しては,\ 「極限\dot{値}」のことを「和」と呼ぶのが慣例であると思っておけばよい. \\[.2zh] つまり,\ 「無限級数の極限値」「無限級数が極限値をもたない」ということである.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
繰り返しになるが,\ 無限級数の計算は$\dlim{n\to\infty}S_n$を求めることに帰着する. \\[.2zh] 実際には,\ $S_n$を求めることさえできれば,\ 極限計算はおまけ程度である. \\[.2zh] そして,\ 高校範囲で求まる和は,\ 一部の特殊なもの(主に次の4つ)に限られていた. \\[.5zh] \maru1\ \ 等差数列の和  \ \maru2\ \ Σ公式の形  \ \maru3\ \ 等比数列の和  \ \maru4\ \ 階差数列の和 \\[.5zh] この中で,\ \maru1と\maru2の極限は$\pm\,\infty$となるので,\ 出題する意義が少ない. \\[.2zh] 必然的に,\ \maru3と\maru4が無限級数の和の問題として出題されることになる. \\[.2zh] \maru3の等比数列の和については関連事項が多いので,\ 後にまとめて扱う. \\[.2zh] ここでは,\ \maru4のタイプを演習する.\ このパターンを覚えているだろうか. \\[.2zh] 一般項を階差の形にして和を書き下すと,\ 間が消えて端だけが残るパターンのことである. \\\\\\\\
次の無限級数の収束・発散を調べ,\ 収束するものはその和を求めよ.
原理を確認する.\ まず,\ 一般項$a_n$を何とかして階差の形$a_n=\bm{\textcolor{red}{f(n)-f(n+1)}}$で表す. \\
\centerline{$\therefore\ \ この無限級数は\bm{収束し,\ その和は\,-\bunsuu12}\,である.$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
S_n\,を求められるかがすべてである.\ S_n\,を求めるには,\ まずa_n\,をnの式で表す必要がある. \\[.2zh] 後は,\ a_n\,をn=1のときから順に書き下していくと,\ 間が消えて端だけが残る. \\[.2zh] これを極限にとばせば,\ 無限級数の和が求まる. \\[1zh] 無限級数の和(極限値)を具体的に理解しておく. \\[.2zh] 本問は\,a_1=\bunsuu12-\bunsuu23=-\bunsuu16,\ a_2=\bunsuu23-\bunsuu34=-\bunsuu{1}{12},\ a_3=\bunsuu34-\bunsuu45=-\bunsuu{1}{20},\ \cdots\,の無限級数である. \\[.8zh] よって,\ 部分和の数列\{S_n\}\,は以下のようにして-\bunsuu12=-\,0.5\,に収束していく.
無限級数では,\ \bm{勝手に項の順序を変えたり,\ 括弧をつけたり,\ 括弧をはずしたりしてはならない.} \\[.2zh] よって,\ 本問の和を次のように考えて求めるのは誤りである. \\[.2zh] もし,\ 問題が\,\bunsuu12+\left(-\bunsuu23+\bunsuu23\right)+\left(-\bunsuu34+\bunsuu34\right)+\cdots\cdots\ だったならば,\ これが正しい解答である. \\[.8zh] これは,\ a_1=\bunsuu12,\ \ a_2=-\bunsuu23+\bunsuu23=0,\ \ a_3=-\bunsuu34+\bunsuu34=0,\ \cdots\ の無限級数である. \\[.8zh] よって,\ 部分和の数列\{S_n\}が\,\bunsuu12\,に収束するのは明らかである. \\[.8zh] S_1=a_1=\bunsuu12,\ \ S_2=a_1+a_2=\bunsuu12+0=\bunsuu12,\ \ S_3=a_1+a_2+a_3=\bunsuu12+0+0=\bunsuu12 \\\\
なお,\ \bm{部分和S_n\,は有限の和なので,\ 普通に計算することができる(括弧を無視して間を消せる)}.
\centerline{$\therefore\ \ この無限級数は\bm{発散する.}$}
a_n\,をうまく階差の形f(n)-f(n+1)にできる数列など,\ 当然ごく一部のものに限られる. \\[.2zh] どんな数列が階差の形にできるか,\ どのように階差の形にするのかをパターンとしてすべて覚える. \\[.2zh] \bm{分母に\ruizyoukon{ }\,の和があるタイプ}は,\ \bm{有理化}すると階差の形になる. \\[.2zh] 分母の左の\ruizyoukon{ }\,の中は1,\ 3,\ 5,\ \cdots\,となっていくから,\ 初項1,\ 公差2の等差数列である. \\[.2zh] よって,\ 一般項(n項目)は1+(n-1)\cdot2=2n-1である. \\[.2zh] 同様に,\ 右は3,\ 5,\ 7,\ \cdots\,となっていくから,\ 一般項(n項目)は3+(n-1)\cdot2=2n+1である.
この無限級数は\bm{収束し,\ その和は\,\bunsuu13}\,である.$} \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
無限級数\ \retuwa{n=1}{\infty}\bunsuu{1}{4n^2+4n-3}\ は,\ a_n=\bunsuu{1}{4n^2+4n-3}\ であることを意味する. \\[1zh] \bm{分母が因数分解できる分数のタイプ}は,\ \bm{部分分数分解}すると階差の形になる. \\[.2zh] その方法は1つではないが,\ 和が目標ならば公式\ \bm{\bunsuu{1}{ab}=\bunsuu{1}{b-a}\left(\bunsuu1a-\bunsuu1b\right)}の利用が推奨される.
和を求めるとき,\ \bm{間が完全には消えない}ことに注意する. \\[.2zh] わかりにくいならば,\ \ 以下のように和を分けて計算するとよい. \\[.5zh] 数列の問題ならば最後に通分すべきだが,\ 極限計算では通分すると面倒になるだけである.
この無限級数は\bm{収束し,\ その和は2}\,である.$}
一般項a_n\,がすでに和の形なので,\ Σ公式を用いてnの式に直す.
すると,\ 分母が因数分解できる分数のタイプに帰着するので,\ \bm{部分分数分解}する.