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収束するような$x$の範囲で,\ 次の関数のグラフをかき,\ 連続性を調べよ. 無限等比数列と無限等比級数で表された関数のグラフと連続性}
適切に場合分けをして極限を求めることができれば,\ その図示は容易である. \\[.2zh] 無限等比数列\{r^n\}は,\ \bm{r=\pm\,1を境にして極限が変化する}のであった. \\[.2zh] \zettaiti r<1,\ つまり\bm{-1<r<1のとき,\ \dlim{n\to\infty}r^n=0}である. \\[.6zh] \bm{r=1のとき,\ 当然\,\dlim{n\to\infty}r^n=1}である. \\[.6zh] r=-\,1のとき,\ \{r^n\}\,は-1,\ 1,\ -\,1,\ 1,\ \cdots\ となり,\ 振動する. \\[.4zh] ただし,\ 本問の場合,\ x^{2n+1}=x(x^2)^n,\ x^{2n}=(x^2)^n\,より,\ 公比x^2\,の無限等比数列ともみなせる. \\[.2zh] よって,\ x=-\,1の場合にも極限値が存在する. \bm{実際にx=-\,1を代入}して求める. \\[.2zh] \zettaiti r>1,\ つまり\bm{r<-\,1,\ 1<rのとき,\ \dlim{n\to\infty}\left(\bunsuu1r\right)^n=0}であることを利用して極限を求める. \\[.8zh] そのために,\ 分母の最高次の項x^{2n}\,で分母分子を割ることになる. \\[.6zh] 結局\ \ これを図示する.\ 含まない端点は白丸とする. \\\\
x\neqq\pm\,1で連続であることは明らかなので,\ x=-\,1,\ 1における連続性を定義に従って調べる. \\[.2zh] \bm{x=aで連続の条件は,\ \dlim{x\to a}f(x)の極限値が存在し,\ f(a)と一致すること}である. \\[.6zh] x=-\,1,\ 1でグラフが変わるから,\ \bm{左側極限と右側極限の一致が\dlim{x\to a}f(x)の存在条件}である. \\[.6zh] \dlim{x\to-1-0}f(x)は,\ x<-\,1のときのf(x)=xを用いて求める. \\[.6zh] \dlim{x\to-1+0}f(x)は,\ x>-\,1のときのf(x)=-\,1を用いて求める. \\[.6zh] \dlim{x\to -1-0}f(x)=\dlim{x\to -1+0}f(x)=-\,1であり,\ f(-\,1)=-\,1と一致するからx=-\,1で連続である.
書き出してみると f(x)=x+\bunsuu{x}{1+x}+\bunsuu{x}{(1+x)^2}+\bunsuu{x}{(1+x)^3}+\cdots\cdots \\[1zh] f(x)は,\ 初項x,\ 公比\,\bunsuu{1}{1+x}\,の無限等比級数である. \\[1zh] 初項a,\ 公比rの無限等比級数は,\ \bm{a=0のとき0に収束,\ \zettaiti r<1のとき\,\bunsuu{a}{1-r}\,に収束する.} \\[.6zh] \zettaiti{\bunsuu{1}{1+x}}<1\ \Longleftrightarrow\ 1<\zettaiti{1+x}\ \Longleftrightarrow\ 1+x<-\,1,\ 1<1+x\ \Longleftrightarrow\ x<-\,2,\ 0 なお,\ \zettaiti{\bunsuu{1}{1+x}}<1を-1<\bunsuu{1}{1+x}<1と考えると,\ 不等式を解くのが面倒になる. \\[.6zh] 1+x<0のときに分母をはらうと不等号の向きが変わるため,\ 安易に分母をはらえないからである. \\[1zh] 結局,\ \bm{f(x)の定義域はx<-\
定義域の左端であるx=0における連続性を定義に従って調べる. \\[.2zh] 左端x=0では,\ \bm{\dlim{x\to+0}f(x)とf(0)が一致}すれば連続である. \\[.6zh] -\,2\leqq x<0は定義域ではないので,\ これらの点における連続性を考える必要はない.