検索用コード
x+3}-b}{x-1}=2$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. \\\\
\hspace{.5zw}(2)\ \ $\dlim{x\to\pi}\bunsuu{\sin(x-\pi)}{ax-b}=1$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. \\\\
\hspace{.5zw}(3)\ \ $\dlim{x\to-\infty}\{\ruizyoukon{x^2-2x-4}-(ax+b)\}=0$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. \\
極限値から関数の係数決定}}}} \\\\[.5zh] すでに,\ 数列の極限「分数式が収束するための必要条件」で,\ 同種の問題を取り扱った. \\[.2zh] 一応,\ 基礎となる事実を復習する.\ \ $\alpha$を定数とする. \\
本問は,\ 上の[1]の場合に該当する. \\[.2zh] 分数式が収束し,\ かつ分母が0に収束するので,\ \bm{分子も0に収束することが必要条件}である. \\[.2zh] 逆の「分子が収束\ \Longrightarrow\ 分数式が収束」は成り立たないので,\ 十分条件ではない. \\[.2zh] 例えば,\ f(x)=x,\ g(x)=x^2\,とすると,\ \dlim{x\to0}f(x)=0\,だが,\ \dlim{x\to0}\bunsuu{f(x)}{g(x)}=\dlim{x\to0}\bunsuu1x\,は収束しない. \\[1zh] 必要条件b=2aを代入し,\ 極限値が2となるように定めたa,\ bが必要十分条件である.
本問は,\ 上の[2]の場合に該当する. \\[.2zh] 分数式が0以外に収束し,\,かつ分子が0に収束するので,\,\bm{分母も0に収束することが必要条件}である. \\ 分子が収束することが必要}である. \
x<0のとき,\ \ruizyoukon{x^2}=xではなく,\ \ruizyoukon{x^2}=-\,xである. \\[.2zh] 無理関数でx\to-\,\infty\,とするとき,\ このミスのリスクを下げるため,\ まず置換するのが基本である. \\[.2zh] t\to\infty\,であるから,\ 有理化した後,\ 分母の最高次の項tで分母分子を割る. \\[.2zh] 分母が収束する場合,\ 分子も収束しなければ全体として収束しない. \\[.2zh] さらに,\ a<0も必要であることから,\ aの候補がただ1つに絞られる. \\[.2zh] 仮にa<0として絞り込めなくても,\ 実際にa=1を代入してみると\,\infty\,に発散することに気付く. \\[1zh] %\ruizyoukon{t^2+2t-4}=\ruizyoukon{(t+1)^2-5}\kinzi t+1より,\ a=-\,1,\ b=1と予想できる. \\[.2zh] さて,\ 本問は図形的意味も重要である. \\[.2zh] 本問から,\ x\to-\,\infty\,のとき,\ \ruizyoukon{x^2-2x-4}\,と-x+1の差が限りなく0に近づくことがわかる. \\[.2zh] これは,\ 図形的には\bm{y=\ruizyoukon{x^2-2x-4}\,の漸近線がy=-\,x+1}であることを意味する. \\[.2zh] y=\ruizyoukon{x^2-2x-4}\,の両辺を2乗して変形すると,\ 双曲線\ \bunsuu{(x-1)^2}{5}-\bunsuu{y^2}{5}=1\ である. \\[.6zh] 逆に言えば,\ この双曲線のy\geqq0の部分がy=\ruizyoukon{x^2-2x-4}\,であり,\ 図のようになるわけである. \\[.2zh] 結局,\,\dlim{x\to\pm\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0となるa,\ bを求めると,\ y=f(x)の漸近線y=ax+bが求まる. \\[.6zh] ただし,\ 実際に漸近線を求めてグラフを描く場合は,\ もう少し簡潔な方法を用いる(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}:微分法).
f(x)}{x^2-1}=4$を満たす多項式$f(x)$を求めよ.
\dlim{x\to\infty}\bunsuu{f(x)-2x^3}{x^2}\,は,\ 分母が2次式である. \\[.8zh] よって,\ 分子の次数が3次以上の場合は\,\infty\,に発散,\ 1次以下の場合は0に収束する. \\[.2zh] ゆえに,\ \bm{分子は2次}であり,\ 3に収束することも考慮すると\bm{x^2\,の係数が3}でなければならない. \\[.2zh] 後は,\ \dlim{x\to1}\bunsuu{f(x)}{x^2-1}=4\,が成り立つようにa,\ bを定めればよく,\ 前問までと同様である. \\[.8zh] b=-\,a-5は,\ x\to1のとき分子\to0となるように求めたものである. \\[.2zh] 必然的に分子は(x-1)を因数にもつはずであり,\ このことも考慮すると楽に因数分解できる.