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関数の点連続性}} \\[1zh] 関数$f(x)$の\.{定}\.{義}\.{域}\.{内}の$x$の値$a$に対して \\[.5zh] \hspace{-.05em}\scalebox{.95}[1]{$\bm{\textcolor{blue}{関数f(x)がx=aで連続}\ \Longleftrightarrow\ \maru1\ \textcolor{red}{\dlim{x\to a}f(x)が存在する}\ \ かつ\ \ \maru2\ \textcolor{red}{\dlim{x\to a}f(x)=f(a)}}$} \\\\
\maru1,\ \maru2の一方が成り立たないとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{x=a}$で不連続}}であるという. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{x=a}$が定義域に属さないとき,\ この点の連続・不連続は考えない.}} \\\\\\\\\\
連続・不連続は,\ 直感的にはグラフがつながっているか否かと考えてよい. \\[.2zh] そして,\ つながっているということは,\ \maru1かつ\maru2が成り立っているということである. \\[.2zh] 逆に言えば,\ \maru1と\maru2の一方でも成り立っていないならば,\ つながっていないことになる. \\[1zh] 具体例で確認するのがわかりやすいだろう.\ \maru1が成り立っていない例が[1]である. \\[.2zh] そもそも「\dlim{x\to a}f(x)が存在する」とは,\ 「\bm{\dlim{x\to a-0}f(x)=\dlim{x\to a+0}f(x)}」となるということである. \\[.6zh] \dlim{x\to -0}f(x)=1,\ \dlim{x\to +0}f(x)=2より\dlim{x\to -0}f(x)\neqq\dlim{x\to +0}f(x)なので,\ \dlim{x\to 0}f(x)は存在しない. \\[1.5zh] \maru1は成り立っているが,\ \maru2が成り立っていない例が[2]である. \\[.2zh] \dlim{x\to -0}f(x)=1,\ \dlim{x\to +0}f(x)=1より\dlim{x\to 0}f(x)=1であり,\ \maru1は成り立っている. \\[.6zh] しかし,\ f(0)=0なので\dlim{x\to 0}f(x)\neqq f(0)であり,\ \maru2は成り立たない. \\[.6zh] ここでもわかるように,\ \bm{\dlim{x\to a}f(x)とf(a)は別物}であることに注意する. \\[.6zh] \dlim{x\to a}f(x)はx\to aのときにf(x)が近づく目標のことであり,\ x=aのときの値f(a)とは関係ない. \\[.6zh] x\to0のときにf(x)が近づく目標\dlim{x\to 0}f(x)とf(0)が一致して初めてx=0で連続といえる([3]).
関数の区間連続性}} \\[1zh] $\begin{cases}
両端の点を含む区間  \textcolor{cyan}{a\leqq x\leqq b}を\bm{\textcolor{blue}{閉区間}}といい,\ \bm{\textcolor{red}{[a,\ b]}}で表す. \\[.2zh] 両端の点を含まない区間\textcolor{cyan}{a<x<b}を\bm{\textcolor{blue}{開区間}}といい,\ \bm{\textcolor{red}{(a,\ b)}}で表す.
\end{cases}$ \\[1zh] その他,\ $a\leqq x<b$は$[a,\ b)$,\ \ $x<a$は$(-\infty,\ a)$,\ \ 実数全体は$(-\,\infty,\ \infty)$のように表す. \\[1zh] 関数$f(x)$が\textbf{\textcolor{ForestGreen}{区間$I$のすべての点で連続}}であるとき,\ $f(x)$は\textbf{\textcolor{blue}{区間$\bm{I}$で連続}}であるという. \\[.2zh] 関数$f(x)$が\textbf{\textcolor{ForestGreen}{\.{定}\.{義}\.{域}\.{内}のすべての点で連続}}であるとき,\ $f(x)$は\textbf{\textcolor{blue}{連続関数}}であるという. \\[1zh] \textcolor{magenta}{区間$[a,\ b]$の左端では,\ $\dlim{x\to a+0}f(x)=f(a)$ならば,\ $x=a$で(右側)連続である}という. \\[.2zh] \textcolor{magenta}{区間$[a,\ b]$の右端では,\ $\dlim{x\to b-0}f(x)=f(b)$ならば,\ $x=b$で(左側)連続である}という. \\[1zh] 以下はすべて連続関数(\.{定}\.{義}\.{域}\.{内}のすべての点で連続)である. \\\\
y=x^2,\ y=\sin x,\ y=\cos x,\ y=e^x\,が連続関数なのは明らかだろう. \\[.2zh] 他の関数も定義域内のすべての点で連続であるから,\ 連続関数である. \\[.2zh] y=\bunsuu1x\ (定義域:x\neqq0),\ \ y=\log x\ (定義域:x>0),\ \ y=\tan x\ \left(定義域:x\neqq\pm\bunsuu{\pi}{2},\ \pm\bunsuu{3\pi}{2},\ \cdots\right) \\[.8zh] 繰り返しになるが,\ 連続・不連続は定義域内で考える. \\[.2zh] 例えば,\ y=\bunsuu1x\,においてx=0は定義域に含まれないので,\ 「x=0で不連続」とは言わない. \\[.8zh] y=\ruizyoukon x\,の定義域はx\geqq0である. \\[.2zh] \dlim{x\to+0}f(x)=0,\ f(0)=0より\dlim{x\to+0}f(x)=f(0)が成り立つから,\ y=\ruizyoukon x\,はx=0で連続である. \\[.2zh] \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{連続関数の性質}} \\[1zh] 関数$f(x),\ g(x)$がともに連続関数であるとき,\ 次の関数も連続関数である. \\[.5zh] \maru1\ \ \textbf{\textcolor{blue}{和・差}}  $\bm{\textcolor{red}{f(x)\pm g(x)}}$ \\[.5zh] \maru2\ \ \textbf{\textcolor{blue}{積}}    $\bm{\textcolor{red}{f(x)g(x)}}$ \\[.5zh] \maru3\ \ \textbf{\textcolor{blue}{商}}    $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{f(x)}{g(x)}}}\ \ (g(x)\neqq0であるxの範囲)$ \\[.5zh] \maru4\ \ \textbf{\textcolor{blue}{合成関数}} $\bm{\textcolor{red}{f(g(x))}}\ \ (g(x)の値域がf(x)の定義域に含まれるxの範囲)$ \\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
連続関数を足したり引いたり掛けたり割ったり合成したりした関数も連続関数ということである. \\[.2zh] それゆえ,\ 高校数学で登場する関数の大半は連続関数である.
次の関数の連続性を調べよ.\ ただし,\ $\gauss x$は$x$を超えない最大の整数を表す. \\[.5zh] (x)は定義域で連続である.
\centerline{$\therefore\ \ \bm{f(x)は-1\leqq x<0,\ 0<x<1で連続,\ x=0,\ 1で不連続である.}$であり,\ f(x)=x+2とは別物であることに注意. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ いわゆる普通の関数が連続関数であることは明らかとしてよく,\ 調べるまでもない. \\[1zh] (2)\ \ 絶対値があるから,\ x>0とx<0で場合分けする.\ y=x,\ y=-\,xは当然連続関数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ 境目であるx=0で連続か否かを確認する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 当然,\ 定義に基づいて確認する.\ 繰り返しになるが,\ \dlim{x\to0}f(x)とf(0)は別物である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{\dlim{x\to0}f(x)とf(0)を別々に求めて一致するかを確認する}ことになる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 左側極限と右側極限が一致するから\dlim{x\to0}f(x)=0で,\ f(0)=0よりx=0で連続とわかる. \\[1zh] (3)\ \ ガウス記号があるy=\gauss xのグラフは頻出なので,\ 素早く図示できるようにしておくべきである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ グラフからほぼ明らかではあるが,\ x=-\,1,\ 0,\ 1での連続性を定義に従って調べる必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 定義域の左端x=-\,1では,\ \dlim{x\to-1+0}f(x)=f(-\,1)が成り立つならば連続である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 定義域の右端x=1では,\ \dlim{x\to1-0}f(x)=f(1)が成り立つならば連続である.