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一見すると,\ 左辺の極限値を求めて$=(右辺)$とすればよさそうである. \\[.2zh] しかし,\ 実際には極限値が求まらず,\ \textbf{\textcolor{red}{必要条件から攻める}}ことになる. \\[1zh] そのときに基礎となるのは,\ 以下の事実である.\ $\alpha,\ \beta,\ \gamma$を定数とする. $のとき,\ $q$は$p$であるための必要条件なので,\ 以下の結論が得られる. \\[1zh] \maru1\ \ \textcolor{cyan}{$\bunsuu{a_n}{b_n}$と分母$b_n$が収束する}ための\textcolor{blue}{必要条件}:\textcolor{red}{分子$a_n$が収束する.} \\[.3zh] \maru2\ \ \textcolor{cyan}{$\bunsuu{a_n}{b_n}$が0以外に収束,\ 分子$a_n$が収束する}ための\textcolor{blue}{必要条件}:\textcolor{red}{分母$b_n$が収束する.} \\[.3zh] \maru1$’$\ \,\textcolor{cyan}{$\bunsuu{a_n}{b_n}$が収束,\ 分母$b_n$が0に収束する}ための\textcolor{blue}{必要条件}:\textcolor{red}{分子$a_n$が0に収束する.} \\[.3zh] \maru2$’$\ \,\textcolor{cyan}{$\bunsuu{a_n}{b_n}$が0以外に収束,\ 分子$a_n$が0に収束する}ための\textcolor{blue}{必要条件}:\textcolor{red}{分母$b_n$が0に収束する.} \\\\
逆の「分子$a_n$が収束$\Longrightarrow\ \bunsuu{a_n}{b_n}$が収束」などは成り立たないので十分条件ではない. \
これらは結論だけ覚えるのではなく,\ 最初に示した途中過程も理解しておくべきである. \\\\
分子が収束することが必要}である.
\infty-\infty\,の不定形なので,\ 基本通り有理化し,\ さらに分母の最高次の項nで分母・分子を割る. \\[.2zh] このとき,\ 不定形ではないbを分離して有理化すると計算が楽になる. \\[.2zh] 分母が収束するから分子の収束が必要で,\ そのためにはa^2-1=0が必要である. \\[.2zh] さらに,\ a\leqq0のとき-\infty-\infty=-\infty\,となるから,\ a>0であることも必要である. \\[.2zh] こうしてaの候補がただ1つに絞られ,\ 代入して極限値を求めると十分条件である. \\[.2zh] 仮にa>0として絞り込めなくても,\ a=-\,1を\maru1に代入してみると直ちに不適であることがわかる.
\ 分母が0に収束することが必要}である. 分母が0に収束することが必要}である.
基本通り変形していくと分子が0に収束するとわかるので,\ 分母も0に収束することが必要である. \\[.2zh] 分子が0に収束,\ 分数式が1に収束するためには,\ \bunsuu00\,の不定形になるしかないというわけである. \\[.6zh] a=\ruizyoukon2\,は,\ 3段目の式に代入しても\,\bunsuu00\,の不定形になるので,\ \maru1に代入して極限値を求める. \\[.6zh] 最初に分母の最高次の項nで分母分子を割ると,\ 少しだけ簡潔に求められる(別解).