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次の無限級数の収束,\ 発散を調べ,\ 収束すればその和を求めよ. \\[1zh] 部分和を場合分けする無限級数の収束と発散この無限級数は\bm{収束し,\ その和は1}である.$} この無限級数は\bm{収束し,\ その和は0}である.この無限級数は\bm{発散する.}$} \\\\
\phantom{(1)}\ \ 以前学習した最も基本的な型の無限級数であり,\ 容易に和を求めることができる. \\\\
(2)\ \ a_1=1,\ \ a_2=-\bunsuu12,\ \ a_3=\bunsuu12,\ \ a_4=-\bunsuu13,\ \ \cdots\cdots\ の無限級数である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 無限級数では勝手に括弧をつけてはならないので,\ (1)とは別物であることに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうなると,\ S_n\,をnの式で表すことができず,\ \dlim{n\to\infty}S_n\,を計算することができなくなる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ \bm{奇数項までと偶数項までの部分和ならば求められる}ことに気付かなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 先に,\ \bm{キリがよく求めやすい奇数項までの部分和S_n=S_{2m-1}\,から求める.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ S_1=1,\ S_3=1-\bunsuu12+\bunsuu12,\ S_5=1-\bunsuu12+\bunsuu12-\bunsuu13+\bunsuu13,\ \cdots\,より,\,S_{2m-1}\,が解答のようになる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 次に,\ \bm{偶数項までの部分和S_n=S_{2m}\,をS_{2m-1}\,を用いて求める.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ S_{2m-1}\,に第2m項a_{2m}=-\bunsuu{1}{m+1}\,を足したものがS_{2m}\,である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 部分和\{S_{2m-1}\}\,と\,\{S_{2m}\}\,の極限値が1で一致するから,\ 無限級数の極限値は1となる. \\\\
(4)\ \ 部分和\,\{S_{2m}\}\,と\,\{S_{2m-1}\}\,が一致しないから,\ 無限級数は発散する. \\\\\\
\dlim{m\to\infty}S_{2m}=\dlim{m\to\infty}S_{2m-1}\,のときと\dlim{m\to\infty}S_{2m}\neqq\dlim{m\to\infty}S_{2m-1}\,のときの概念図が以下である. \\\\\\[1zh] 発散する(振動する)}無限級数$\retuwa{n=1}{\infty}\bunsuu{1}{2^n}\sin\bunsuu{2n\pi}{3}$の収束,\ 発散を調べ,\ 収束すればその和を求めよ. \\
$m$を自然数とすると 
n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ のときを具体的に考えてみると,\ \left\{\sin\bunsuu{2n\pi}{3}\right\}\,は周期3の数列となることがわかる. \\[.8zh] よって,\ 部分和を3つに場合分けする必要が生じる.\ まず,\ キリがよく最も簡単なS_{3m}\,から求める. \\[.2zh] 解答では,\ わかりやすいようにあえて0となる項も記述した.\ 結局,\ 無限等比級数の和に帰着する. \\[.2zh] 公比\zettaiti r<1を確認した上で,\ 無限等比級数の和の公式\,\bunsuu{a}{1-r}\,を適用すればよい. \\[.8zh] 後は,\ \dlim{m\to\infty}S_{3m}\,を利用して\dlim{m\to\infty}S_{3m-1}\,と\dlim{m\to\infty}S_{3m-2}\,も求めると,\ 極限値が一致するとわかる.