放物線と法線の間の面積の最小値(相加相乗の利用)

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ある点における接線と垂直な直線がその点における法線である. \\[.2zh] 傾きがそれぞれm_1,\ m_2\,である2直線の直交条件は \bm{m_1m_2=-\,1} \\[.2zh] 接線の傾きがaなので,\ 法線の傾きをmとすると ma=-\,1   よって\ \ m=-\bunsuu1a\ (\because\ a\neqq0) \\[.6zh] 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式は y=m(x-x_1)+y_1 \\[1zh] 放物線と法線を連立し,\ 交点のx座標を求める. \\[.2zh] この2次方程式をまともに解く必要はない.\ x=aを解にもつことが既知だからである. \\[.2zh] \bm{解と係数の関係}を利用すると,\ 素早くもう1つの解を求められる. \\[.2zh]  ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とすると \alpha+\beta=-\bunsuu ba \\\\ \bm{放物線と直線の間の面積}では,\ 必ず\ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\,を利用できるのであっ 最後にb=-\,a-\bunsuu2a\ を代入すればよい. \\\\ \bm{○+\bunsuu{1}{○}\,の形の式の最小値は,\ 相加平均と相乗平均の大小関係を用いて求めるのが有効}であった. \\[.6zh]  \bm{a>0,\ b>0\ のとき a+b\geqq2\sqrt{ab} (a=bのとき等号成立)} \\[1zh] 相加相乗は,\ 必ず前提条件a>0,\ b>0を確認してから利用する. \\[.2zh] また,\ 2a+\bunsuu{2}{a}\geqq4が導かれたからといって,\ 直ちに2a+\bunsuu{2}{a}\,の最小値4と結論づけてはならない. \\[.8zh] 「4以上」は「最小値4」をも意味するわけではないからである. \\[.2zh] 仮に「最小値10」だったとしても,\ それは「4以上」である. \\[.2zh] 「最小値4」と結論づけるには,\ \bm{2a+\bunsuu{2}{a}=4となる実数aが存在することを確認}する必要がある. \\[.8zh] つまり,\ \bm{等号成立条件の確認が必須}ということである. \\[.2zh]
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