放物線と直線の間の面積が一定であることの証明(1/6公式の利用)

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}$a,\ b$を正の定数とする.\ 放物線$y=ax^2+b$上の任意の点Pにおける接線$\ell$と放物線 \\[.2zh] \hspace{.5zw}$y=ax^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき,\ $S$が点Pの位置によらず一定値をとる \\[.2zh] \hspace{.5zw}ことを示せ.放物線と直線の間の面積が一定であることの証明}}}} \\\\[.5zh]   点Pの座標を$(p,\ ap^2+b)$とする. \\[1zh]   $y’=2ax$より 点Pにおける接線$\ell$の方程式は $y=2apx-ap^2+b$ \\[1zh]   接線$\ell$と$y=ax^2$の交点の$x$座標を求める. \\[.5zh]    $ax^2=2apx-ap^2+b$\ より $ax^2-2apx+ap^2-b=0\ \ \cdots\cdots\,\maru1$ \\[1zh]   \maru1の判別式を$D$とすると $\bunsuu D4=(ap)^2-a(ap^2-b)=ab>0$ \\[.2zh]   \maru1は異なる2つの実数解をもつから,\ これを$\textcolor{cyan}{x=\alpha,\ \beta}\ (\alpha<\beta)$とおく. \\[1zh]   解と係数の関係より \ \bm{面積Sは点\mathRM{P}の位置によらず一定値をとる.}$ y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[.2zh] なお,\ y=ax^2+bとy=ax^2\,は交点をもたないことに注意してほしい. \\[.2zh] 実際,\ ax^2+b=ax^2\,はb=0となるが,\ b>0と矛盾するのでこの方程式の実数解は存在しない. \\[1zh] さて,\ 面積を求めるには交点のx座標が必要なので,\ 放物線y=ax^2\,と接線\,\ell\,を連立する. \\[.2zh] 文字が多いので,\ 普通に解を求めると値が鬱陶しくなってしまう. \\[.2zh] このように,\ \bm{交点のx座標が鬱陶しい場合,\ 一旦文字でおいて計算し,\ 最後に代入する}のがよい. \\[.2zh] 放物線y=ax^2\,と接線\,\ell\,が異なる2点で交わることを確認した上でx座標を文字でおく. \\[.2zh] a>0,\ b>0より常にD=ab>0なので,\ \bm{pの値によらず,\ 異なる2点で交わる}ことがわかる. \\[1zh] \bm{放物線と直線の間の面積}では,\ 必ず\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\,を利用できるのであった. \\[1zh] 面積Sが\,\alpha,\ \beta\,を用いて表されるので,\ \alpha,\ \beta\,を消去すればよい. \\[.2zh] \beta-\alpha\,は,\ \alpha,\ \beta\,の交代式(2文字を入れ替えると符号が逆になる式)である. \\[.2zh] \bm{交代式は2乗すると対称式になる}ので,\ \bm{解と係数の関係}の利用して消去するがスマートである. \\[.2zh]  ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とするとき \bm{\alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca} \\\\ 対称式は,\ 基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,のみで表すことができるのであった. \\[.2zh] (\beta-\alpha)^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\[.2zh] (\beta-\alpha)^3=\{(\beta-\alpha)^2\}^{\frac32}\ とすることで,\ \bunsuu a6(\beta-\alpha)^3\,を基本対称式で表せる. \\[.8zh] 後は,\ \alpha,\ \beta\,を消去し,\ \bm{面積Sがpを含まない式で表されることを確認}すればよい. \\[1zh] 実は,\ 解と係数の関係の利用せずに普通に解を求めて代入した方がわかりやすかったりする. \\[.2zh] いずれの方法で\,\alpha,\ \beta\,を消去するにしても,\ \bm{\bunsuu16\,公式の利用は必須}である. \\[.5zh] 何らの工夫も無く\ \dint{p-\frac{\ruizyoukon{ab}}{a}}{p+\frac{\ruizyoukon{ab}}{a}}\{(2apx-ap^2+b)-ax^2\}\,dxを計算しようものなら地獄絵図になる. \\[.8zh] \bunsuu16\,公式を用いた面積の求め方を習得した上で応用問題に挑んでほしい.
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