絶対値付き関数の定積分③:区間の両端が一定幅で動く

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絶対値付き関数の定積分は,\ まず絶対値をはずさなければ計算できない. \\[.2zh] このとき,\ \bm{面積としてとらえておく}と後の思考がスムーズにいく. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が0以上のときそのまま,\ 中身が0以下のとき-をつけてはずす. \\[1zh] f(x)はxの関数だが,\ 定積分自体は積分変数がtなので,\ \bm{xは定数扱いでtの2次関数扱いとなる.} \\[.2zh] \zettaiti{t^2-2t}\,は全体に絶対値がついているので,\ 中身のy\leqq0の部分をt軸で折り返したグラフとなる. \\[.2zh] t^2-2t=t(t-2)=0より,\ y=t^2-2tはt軸とt=0,\ 2で共有点をもつ. \\[1zh] さて,\ 本問は\bm{区間の両端x,\ x+1が動く型}である. \\[.2zh] ただし,\ \bm{区間の幅は常に1で一定}であることに注意する. \\[.2zh] 積分区間x\leqq t\leqq x+1とt=2の位置関係により,\ 面積の形が変わる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{2がx+1の右側,\ 2がxとx+1の間,\ 2がxの左側のときの3つに場合分け}となる. f(x)は,\ 0\leqq x\leqq1,\ 2\leqq xのとき2次関数,\ 1\leqq x\leqq2のとき3次関数となる. \\[.2zh] 2次関数は平方完成,\ 3次関数は微分して増減表を作成する. \\[.2zh] 0\leqq x\leqq1,\ 1\leqq x\leqq2,\ 2\leqq xのときをまとめた増減表を作成すると一見してわかりやすい. \\[1zh] 最小値を求めたい場合,\ f\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{1+\ruizyoukon3}{2}\right)をまともに計算するのは面倒である. \\[.8zh] 極値をとるときのxの値が汚い場合,\ \bm{方程式を用いた高次式の次数下げ}を行うとよいのであった. \\[.2zh] f'(x)=2x^2-2x-1より,\,f(x)を2x^2-2x-1で割り,\,整式の割り算について成り立つ等式を作る. \\[.2zh]
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