等積条件の工夫③ 3次関数と直線間の面積 S₁ーS₂=0と変曲点を利用した裏技

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3次関数$y=x^3-6x^2+9x$と直線$y=mx$が$x\geqq0$において異なる3点で交わ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ るような$m$の値の範囲を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ (1)のとき,\ 3次関数と直線で囲まれてできる2つの部分の面積を等しくするよう \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ な定数$m$の値を求めよ. \\ 等積条件の工夫\maru3 $\bm{S_1-S_2=0}$}}}} \\\\[.5zh]   $\bm{\textcolor{cyan}{定積分の性質を利用}}するため,\ \bm{\textcolor{red}{S_1=S_2\ \Longleftrightarrow\ S_1-S_2=0}}$\ と考える. \\\\  (1)\ \ $x^3-6x^2+9x=mx\ より x\{x^2-6x+(9-m)\}=0$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって $x=0\ \ または\ \ \textcolor{magenta}{x^2-6x+(9-m)=0\ (\maru1)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1が異なる2個の正の解をもてば,\ 3次関数と直線が$x\geqq0$の異なる3点で交わる. 連立すると因数分解でき,\ x=0を必ず解にもつことがわかる. \\[.2zh] よって,\ 2次方程式\maru1が異なる2個の正の解をもてばよい. \\[.2zh] 結局,\ 数\text Iで学習した\bm{解の存在範囲(配置)の問題}となる. \\[.2zh] これは,\ グラフを用いて図形的に考えるのであった. \\[.2zh] つまり,\ \bm{2次関数f(x)=x^2-6x+(9-m)がx軸の正の部分と異なる2点で交わればよい.} \\[.2zh] その条件は \bm{D>0,\ \ 軸>0,\ \ f(0)>0} \\[.2zh] f(x)=(x-3)^2-mより軸は常にx=3>0なので,\ D>0とf(0)>0を考慮すれば済む. \\[-15zh] \maru1の異なる2個の実数解を$\textcolor{cyan}{\alpha,\ \beta}\ (0<\alpha<\beta)$とおく. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 囲まれてできる2つの部分の面積のうち一方を$S_1$,\ 他方を$S_2$とする. \\\ $\beta\neqq0\ より,\ 両辺を\,\beta^2\,で割って整理すると$ x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2\,と因数分解できることに気付けば,\ この3次関数を素早く図示できる. \\[.2zh] x=0,\ 3\,(重解)より,\ x=0を通り,\ x=3でx軸と接するグラフとなる. \\[.2zh] \maru1の解は綺麗な値にはならないので,\ 文字でおいて等積条件を立式する. \\[1zh] これらをそれぞれまともに計算してS_1=S_2\,とするのはあまりに面倒である. \\[.2zh] そこで,\ S_1=S_2\,を\ \bm{S_1-S_2=0}\,と考えて立式するのが本問最大のポイントである. \\[1zh] 実は,\ \bm{2曲線が3点で交わるときの2つの面積の差は必ず1つの定積分にまとめられる.} \\[.2zh] 結局,\ \bm{\textcolor{red}{\dint{0}{\beta}f(x)\,dx=0}}\ が等積条件となるわけである. \\[1zh] 図形的には,\ 0\leqq x\leqq\beta\,で定積分すると\bm{上側と下側の面積が打ち消し合い0になる}ことを意味する. \\[1zh] 本解では,\ \bm{方程式を用いた次数下げ}を利用して\,\beta\,を求めている. \\[.2zh] これが難しいならば,\ 以下のように\maru1から\,\beta\,を求めて\maru2に代入すればよい. \\ 両辺の2乗で同値性が崩れているので,\ 求まった解が元の方程式を満たすかを確認する必要がある. \,3次関数の対称性を利用(裏技)}}]3次関数は変曲点に関して点対称}}である. \\[.2zh]   対称性より,\ $\bm{\textcolor{red}{直線が変曲点を通るとき,\ S_1=S_2}}$\ となる. \\\\ 答えを求めるだけならば,\ 3次関数の対称性を利用するとよい. \\[.2zh] 上に凸と下に凸が入れ替わる(曲がりが変わる)点を文字通り変曲点という(数 変曲点のx座標は,\ y''=0\ (y''はyを2回微分)によって求めることができる.
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