3次関数と直線で囲まれた面積が等しくなる条件:S₁ーS₂=0と変曲点を利用した裏技

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定積分の性質を利用するため,\ {S₁=S₂S₁-S₂=0$\ と考える.  $y=0\ とすると,\ x=0,\ 3\ (重解)$  $Cと\ y=mx\ の交点を考える.$  $x³-6x²+9x=mx より x{x²-6x+(9-m)}=0$  よって $x=0またはx²-6x+(9-m)=0\ ()}$  $の2つの実数解を\ x=α,\ β}\ とする.$  $β0\ より,\ 両辺を\ β²\ で割って整理すると$  ここで,\ $β\ は,\ x²-6x+(9-m)=0}\ の解である.$ が成立する.$  これをに代入して整理すると    さらに,\ に代入して$m$を消去すると Cのグラフは,\ x=0を通り,\ x=3で接することを考慮して素早く描く. 3次関数と直線の\ x=0\ 以外の交点のx座標を文字でおいたまま計算していく. これを計算し,\ S₁=S₂\ とするのは大変なので,\ 条件を\ {S₁-S₂=0}\ と考える. 実は,\ {2曲線が3点で交わるときの2つの面積の差は1つの定積分にまとめられる. 等積条件となる. これを図形的意味を確認するために,\ ∫0}{β}{g(x)-h(x)}dx\ を考える. この定積分は,\ {h(x)の上側の面積が正の値,\ 下側の面積が負の値}として求まる. よって,\ {上側と下側の面積が一致するとき,\ 打ち消し合って0になる}のである. 本解では,\ β\ を求めるとき,\ {方程式を用いた次数下げ}を利用した. 普通に\ から\ β\ を求め,\ それをに代入すると,\ 次のようになる. 整理すると 2√ m=-m+3   両辺を2乗して 2乗で同値性が崩れるので,\ 求まった解が元の方程式を満たすかの確認が要る. }]$  [3次関数の対称性を利用(裏技)]  3次関数は変曲点に関して点対称である.  よって,\ 対称性より,\ ${直線が変曲点を通るとき,\ S₁=S₂$\ となる.  $Cについて って,\ 変曲点は}
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