2次関数と直線の間の面積と裏技a/6公式①

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面積を求める時に必要になるのは関数の上下関係や共有点なので,\ 頂点を求める必要はない. \\[.2zh] 本問は,\ 上がy=x+1であることと交点のx座標がx=-\,1,\ 2であることさえわかればよい. \\[1zh] 面積を求めるとき,\ 上の関数から下の関数を引いたものを定積分するのであった. \\[.2zh] 本問の場合,\ (x+1)-(2x^2-x-3)を積分区間-1\leqq x\leqq2で定積分することになる. \\[.2zh] さて,\ この定積分計算をいかに行うかが\bm{積分分野の最重要事項}である. \\[.2zh] もちろん,\ 普通に\dint{-1}{2}(-\,2x^2+2x+4)\,dxとして定積分計算して求めることもできる. \\[1zh] しかし,\ これは本質的な計算方法ではなく,\ 後の応用問題には通用しない. \\[.2zh] 今後の学習を見据えると,\ \bm{\bunsuu16\,公式を利用する計算方法の習得が必須}となる. \\[1zh] 共有点は,\ (x+1)-(2x^2-x-3)=0\ \cdots\,\maru1を計算することにより,\ x=-\,1,\ 2となる. \\[.2zh] 一方,\ 被積分関数は(上)-(下)=(x+1)-(2x^2-x-3)で,\ \maru1の左辺と一致している. \\[.2zh] よって,\ 被積分関数は次のように\bm{因数分解形に\dot{瞬}\dot{時}\dot{に}変形}できる. \\[.2zh]  \bm{(x+1)-(2x^2-x-3)=-\,2(x+1)(x-2)}  (係数の-2を忘れない) \\[.2zh] f(x)=0がx=-\,1,\ 2を解にもつことは,\ f(x)がx+1とx-2を因数にもつことだからである. \\[.2zh] (x+1)(x-2)のx^2\,の係数は1なので,\ -\,2を掛けて両辺のx^2\,の係数を一致させている. \\[1zh] とにかく,\ 以下のような\bm{途中計算をせずとも因数分解形にできる}わけである. \\[.2zh]  (x+1)-(2x^2-x-3)=-\,2x^2+2x+4=-\,2(x^2-x-2)=-\,2(x+1)(x-2) \\[1zh] 因数分解形にすると,\ \bunsuu16\,公式\ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\,が適用できる. \\[1zh] こうして,\ \bm{面倒な定積分計算を一切することなく2次関数と直線間の面積が求められる.} \\[.2zh] 共有点のx座標が鬱陶しい値になるほど,\ \bunsuu16\,公式を利用することの重要さが際立ってくる. \\\\ \bm{上の解答で示した記述は必要最低限}と考えてほしい. \\[.2zh] いきなり 記述試験で無断使用可能なのは,\ \bunsuu16\,公式\ \dint{-1}{2}(x+1)(x-2)\,dx=-\bunsuu16\{2-(-1)\}^3\ である. \\[1zh] \bm{因数分解形の記述なしで-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\,としてしまうと,\ 論理不足とみなされる可能性がある.}  以上を一般化する. \\[1zh]  2次関数$y=ax^2+bx+c\ (a>0)$と直線$y=mx+n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよう. \\[.2zh]  $ax^2+bx+c=mx+n\ \cdots\,\maru2$の解が交点の$x$座標$x=\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$である. \\[.2zh]  よって,\ $(mx+n)-(ax^2+bx+c)=-\,a(x-\alpha)(x-\beta)$と変形できる. \\[1zh]  このように,\ $\bm{\textcolor{red}{2次関数と直線の間の面積計算では\underline{必然的に}\,\bunsuu16\,公式を利用できる}}のである.$ \\[.5zh]  この面積計算は今後頻出するので,\ 早い内に$\bunsuu16$公式を利用する計算に慣れてほしい. \\\\\\  $a<0$\ (上に凸)の場合も考える. \\[.5zh]   $S=\dint{\alpha}{\beta}\{(ax^2+bx+c)-(mx+n)\}\,dx=a\textcolor{red}{\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx}=\bm{\textcolor{red}{-\bunsuu{\textcolor{black}{a}}{6}(\beta-\alpha)^3}}$ \\[1zh]  面積が負になってしまったようにみえるが,\ $a<0$より$S=-\bunsuu a6(\beta-\alpha)^3>0$である.  絶対値をつけて$a>0$と$a<0$の場合をまとめたのが,\ 受験数学の裏技$\bunsuu a6$公式である. \\\\\\ \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と直線の間の面積(裏技)}}$} \centerline{最初の問題でこの公式を用いると  上下関係が不明な場合や\,\alpha\,と\,\beta\,の大小が不明な場合は全体に絶対値をつけておけばよい. \\[.2zh] この裏技公式の重要性・利便性は凄まじい. \\[.2zh] \bm{x^2\,の係数と交点のx座標だけで,\ 面積を積分計算なしで瞬殺できる}のである. \\[.2zh] それゆえ,\ 穴埋め式試験における最強の裏技の1つとなっている. \\[.2zh] ただし,\ 裏技公式として結果を丸暗記するよりも,\ 導出過程の理解が100倍重要である. \\[.2zh] そもそも,\ 原理を理解しているならば裏技というほどのものではない. \\[1zh] なお,\ これを\,\bunsuu16\,公式と呼ぶ人も多い気がするが,\ 最初に示した\,\bunsuu16\,公式(非裏技)と混同する. \\[.8zh] 係数aを忘れやすいということもあるので,\ 裏技の方は\bm{\bunsuu a6\,公式}と覚えておくことを推奨する.
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