等積条件の工夫① 放物線とx軸で囲まれた面積の2等分 S=2S₁

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放物線$y=-\,x^2+2xとx軸で囲まれた面積がy=ax\ )によって2等分$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$されるとき,\ 定数aの値を求めよ.$ \\ 等積条件の工夫\maru1 $\bm{S=2S_1} -\,x^2+2x=-\,x(x-2)=0より,\ y=-\,x^2+2xとx軸の交点のx座標はx=0,\ 2である. \\[.2zh] また,\ y=-\,x^2+2xと原点を通る直線y=axとの交点のx座標はx=0,\ 2-aである. \\[.2zh] であることにも注意し,\ 素早く図示する. \\[1zh] さて,\ 2等分の条件は,\ 単純にはS_1=S_2\,である. \\[.2zh] しかし,\ 複雑な形のS_2\,は求めるのが面倒である. \\[.2zh] そこで,\ 2等分の条件をS_1=S_2\,ではなく,\ \bm{S=2S_1}\,と考えるのが本問最大のポイントである. \\[.2zh] \bm{SとS_1\,はいずれも放物線と直線で囲まれた部分の面積なので\,\bunsuu16\,公式を用いて求められる}のである. \\[.6zh]  \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3 \\\\ 本問のS=2S_1\,の考え方や\,\bunsuu16\,公式の重要さは,\ 単に計算が楽になるというだけではない. \\[.6zh] \bm{面積が( )^3\,の形で求まることで,\ 2等分の条件の3次方程式が解ける}という点が重要である. \\[.2zh] 3次方程式(2-a)^3=4を解くには,\ \bm{この形のまま両辺を3乗根する}必要がある. \\[.2zh] \bunsuu16\,公式を使わずにまともに計算すると,\ 展開したa^3-6a^2+12a-4=0が導かれてしまう. \\[.6zh] 有理数係数の範囲では因数分解できない3次方程式なので,\ 多くの学生がここで詰むことになる. \\[.2zh] 立方完成により本解と同様の(a-2)^3=-\,4を導くこともできるが,\ 高校では習わない手法である. \\[.2zh] 以下のように2次方程式を平方完成して解く手法の3次方程式バージョンである. \\[.2zh]
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