定積分を含む漸化式で定義された関数列

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本項目は数学B:数列の漸化式の知識を要します。

関数の列}\ f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots\cdots,\ f_n(x)\ が定積分を含む漸化式で定義されている. \\[.2zh] f_1(x)が与えられれば,\ 漸化式からf_2(x)が定まる. \\[.2zh] 同様にして順次f_3(x),\ f_4(x),\ \cdots\cdots\,が定まっていく. \\[1zh] \dint{0}{1}f_n(t)\,dt\ は,\ \bm{積分区間が定数から定数なので,\ f_n(t)が何であれ定数になる.} \\[1zh] よって,\ 文字定数でおくことができる.\ つまり,\ 前項の積分方程式(定数型)と同様に扱える. \\[.2zh] ただし,\ \bm{f_n(x)はnによって式が変わっていくから,\ 定積分\dint{0}{1}f_n(t)\,dtの値もnによって異なる.} \\[1zh] よって,\ 単純に\ \dint{0}{1}f_n(t)\,dt=k\ とおくことはできず,\ \bm{\dint{0}{1}f_n(t)\,dt=a_n}\ とおくことになる. \\[1zh] 後は,\ \bm{a_{n+1}\,を計算}していくと,\ \bm{特殊解型2項間漸化式a_{n+1}=pa_n+q}に帰着する. \\[1zh] この型の漸化式は,\ まず\ a_{n+1}=a_n=\alpha\ として特殊解\,\alpha\,を求める. \\[.2zh] 本問の場合,\ \alpha=\bunsuu13+\bunsuu12\alpha\,より,\ \alpha=\bunsuu23\,である. \\[.8zh] \alpha\,を用いると,\ a_{n+1}=pa_n+qは\bm{等比数列型a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)}に帰着する. \\[1zh] 漸化式を解いてa_n\,が求まるとf_{n+1}(x)も求まるので,\ f_n(x)に変換する. \\[.2zh] 単純にn\ →\ n-1とすればよいが,\ このとき\ \bm{n\geqq2としなければならない}ことに注意する. \\[.2zh] f_1(x)においてn\ →\ n-1とするとf_0(x)となってしまい,\ n\geqq1に矛盾するからである. \\[1zh] 最後に,\ n=1の場合とn\geqq2の場合をまとめて答えることができないかを考える. \\[.2zh] n\geqq2の式に試しにn=1を代入してみると,\ f_1(x)=x^2+\bunsuu{10}{3}x\ となる. \\[.2zh] これは問題で与えられたf_1(x)=2x+1と一致しない. \\[.2zh] よってまとめて答えることはできず,\ \bm{n=1とn\geqq2の場合を分けて答える}ことになる.
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