放物線と直交する2接線の間の面積の最小値(相加相乗の利用)

スポンサーリンク
放物線$y=x^2$の点P$(a,\ a^2)\ (a>0)$における接線を$\ell_1$とする.\ また,\ $\ell_1$に直交し, \\[.2zh] \hspace{.5zw}$y=x^2$と点Pとは異なる点で接する直線を$\ell_2$とする.\ 放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた \\[.2zh] \hspace{.5zw}部分の面積$S$の最小値を求めよ.\bm{放物線と直交する2接線の間の面積の最小値}$} 放物線と2本の接線の間の面積ついては以前にも取り上げたので,\ 簡単な解説に留める. \\[.2zh] y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[.2zh] 垂直条件を考慮することで,\ \ell_2\,の方程式を最初からaで表すこともできる. \\[.2zh] しかし,\ 計算と記述が面倒になるので,\ 接点を(b,\ b^2)として計算し,\ 最後にbを消去するのがよい. \\[1zh] 傾きがそれぞれm_1,\ m_2\,である2直線の垂直条件は,\ \bm{m_1m_2=-\,1}\ である. \\[1zh] f(x)とg(x)がx=\alpha\,で接するとき,\ f(x)-g(x)が(x-\alpha)^2\,を因数にもつ. \\[.2zh] よって,\ 放物線と接線とy軸に平行な直線で囲まれた部分の面積は,\ 以下の\,\bunsuu13\,公式に帰着する. \\[.8zh]  \dint{}{}(x-\alpha)^2\,dx=\bunsuu13(x-\alpha)^{3}+C \\\\ 放物線ax^2+\cdots とx=\alpha,\,\beta\,(\alpha<\beta)で接する2本の接線間の面積は\,\bunsuu{\zettaiti a}{12}(\beta-\alpha)^3\,であった(裏技). \\[.8zh] 「2接線の交点のx座標が接点のx座標の中点」と「左と右の面積が一致」も覚えておくとよい. \\[1zh] a\neqq0よりb=-\bunsuu{1}{4a}\,とでき,\ これを用いてbを消去すると,\ Sがaの1変数関数で表される. \\[1zh] \bm{○+\bunsuu{1}{○}\,の形の式の最小値は,\ 相加平均と相乗平均の大小関係を用いて求めるのが有効}であった. \\[.8zh]  \bm{a>0,\ b>0のとき a+b\geqq2\ruizyoukon{ab} (a=bのとき等号成立)} \\[1zh] 相加相乗は,\ 必ず前提条件a>0,\ b>0を確認してから利用する. \\[.2zh] また,\ a+\bunsuu{1}{4a}\geqq1が導かれたからといって,\ 直ちにa+\bunsuu{1}{4a}\,の最小値1と結論づけてはならない. \\[.8zh] 「1以上」は「最小値1」をも意味するわけではないからである. \\[.2zh] 仮に「最小値10」だったとしても,\ それは「1以上」である. \\[.2zh] 「最小値1」と結論づけるには,\ \bm{a+\bunsuu{1}{4a}=1となる実数aが存在することを確認}する必要がある. \\[.8zh] つまり,\ \bm{等号成立条件の確認が必須}ということである. \\[.2zh]
タイトルとURLをコピーしました