等積条件の工夫② 絶対値付き2次関数と直線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件 S₁+S₃=S₂+S₃

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放物線$y=\zettaiti{x^2-2x}\ とy=axで囲まれてできる2つの部分の面積が$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$等しくなるとき,\ 定数aの値を求めよ.$ \\ 等積条件の工夫\maru2 $\bm{S_1+S_3=S_2+S_3}$}}}} \\\\[1zh]   $y=-\,x^2+2x$と$y=ax$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする. \\[.2zh]   $y=\zettaiti{x^2+2x}$と$y=ax$で囲まれた部分のうち,\ $S_1$以外の部分の面積を$S_2$とする. \\[.2zh]   $y=x^2-2x$と$y=ax$で囲まれた部分のうち,\ $S_2$以外の部分の面積を$S_3$とする. \\\\ 前項の等積条件の工夫\maru1が習得済みであることを前提として解説する. \\[1zh] 全体に絶対値がついたy=\zettaiti{x^2-2x}\,のグラフは,\ y=x^2-2xのy\leqq0の部分をx軸で折り返す. \\[.2zh] 場合分けして\,\zettaiti{x^2-2x}\,の絶対値をはずし,\ 原点を通る直線y=axとの交点を求める. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が0以上ならばそのまま,\ 0以下ならば-をつけてはずす. \\[.2zh] さて,\ S_2\,の面積は,\ 普通に求めようとするとx=2で分割することになり,\ 面倒である. \\[.2zh] そこで,\ 等積条件のS_1=S_2\,を\bm{S_1+S_3=S_2+S_3}\,と考える. \\[.2zh] \bm{S_1+S_3\,とS_2+S_3\,がいずれも\,\bunsuu16\,公式で求められる}ことに着目するのである. \\[.6zh]  \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3 \\\\ S_1+S_3\,は,\ y=-\,x^2+2x\ とx軸で囲まれた部分の面積の2倍と考えて求めるとよい. \\[.2zh] S_2+S_3\,は,\ y=axとy=x^2-2x\,で囲まれた部分の面積である. \\[1zh] 最後の3次方程式は展開すると解けなくなる.\ \bm{両辺を3乗根}すればよい. \\[.2
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