2次関数と2本の接線の間の面積と裏技a/12公式①

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解説で a[1/3(x-β)²] となっていますが、 a[1/3(x-β)³] の誤りですm(_ _)m

{2本の接線の交点を通る$\bm{y}$軸に平行な直線で分割すると,\ $\bm{\bunsuu13}$公式型面積に帰着する.}}  この他,\ 以下の2点を知識として持っておくことを推奨する.\ 証明は最後に示す. \\[1zh]   \textbf{知識\maru1 \textcolor[named]{ForestGreen}{2次関数の2本の接線の交点の$\bm{x}$座標は,\ 必ず接点の$\bm{x}$座標の中点になる.}} \\[.5zh]   \textbf{知識\maru2 \textcolor[named]{ForestGreen}{左側と右側の面積が必ず等しくなる.}} \\\\\\   $(-\,2,\ 2)における接線の方程式は   $(4,\ 8)における接線の方程式は \   2つの接線の交点の$x$座標は  y’\,に接点(a,\ f(a))のx座標aを代入すると,\ その接点における接線の傾きf'(a)が求まる. \\[.2zh] 接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[.2zh] さらに,\ 連立して2本の接線の交点を求める. \\[.2zh] 知識\maru1を持っていれば,\ 連立せずとも2本の接線の交点のx座標が1となることがわかる. \\[1zh] x=1を境に下側の関数が変わるので,\ 積分区間を-2\leqq x\leqq1と1\leqq x\leqq4に分割して定積分する. \\[.2zh] 結局,\ \bm{2次関数と接線とy軸に平行な直線で囲まれた面積}に帰着する. \\[.2zh] この構図の面積は,\ \bunsuu13\,公式を利用して求められるのであった. \\[1.5zh] 整式f(x),\ g(x)に対して以下が成立する. \\[.2zh]  y=f(x)とy=g(x)がx=\alpha\,で接する\,\Longleftrightarrow\,f(x)-g(x)=0がx=\alpha\,を重解にもつ \\[.2zh] \phantom{ y=f(x)とy=g(x)がx=\alpha\,で接する}\,\Longleftrightarrow\,f(x)-g(x)が(x-\alpha)^2\,を因数にもつ \\[1zh] よって,\ \bunsuu12x^2-(-\,2x-2)=\bunsuu12(x+2)^2,\ \ \bunsuu12x^2-(4x-8)=\bunsuu12(x-4)^2\,と瞬時に変形できる. \\[.8zh] 最後,\ 検算のために知識\maru2を満たしているかを確認するとよい.   一般化すると,\ 裏技公式が導かれる. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と2本の接線の間の面積}}$ y=ax^2+bx+c上の点x=\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)における接線をy=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,とする. \\[.2zh] (ax^2+bx+c)-(m_1x+n_1)=a(x-\alpha)^2, (ax^2+bx+c)-(m_2x+n_2)=a(x-\beta)^2 \\[.2zh] 2本の接線の交点のx座標は,\ m_1x+n_1=m_2x+n_2\,の解である. \\[.2zh] 関数の上下関係や\,\alpha\,と\,\beta\,の大小関係が不明な場合も想定し,\ 絶対値をつけて計算すると以下となる. \\[.8zh] 最初に述べた知識\maru1,\ \maru2が成立していることを確認してほしい. \\[1zh] 面積を求めるだけならば,\ 積分計算は勿論,\ 接線の方程式や接線の交点の座標を求める必要もない. \\[.2zh] 記述試験で無断使用してはならないが,\ 穴埋め式試験や検算には有効である.

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