放物線と円の間の面積

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放物線$y=\bunsuu12x^2$と$y$軸上の点を中心とする半径2の円が異なる2点で接しているとき, \\[.5zh] \hspace{.5zw}放物線と円で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.\ ただし,\ 円の内部の面積は含めない. \\ {放物線と円の間の面積}$}}}} \\\\[1zh]   円の中心の座標をO$'(0,\ a)$とすると,\ 円の方程式は $x^2+(y-a)^2=4$ \\[1zh]   $y=\bunsuu12x^2$と連立すると $2y+(y-a)^2=4$ \\[.5zh]   整理すると $\textcolor{cyan}{y^2-2(a-1)y+a^2-4=0}$ \\[1zh]   判別式を$D$とすると,\ 円と放物線が異なる2点で接する条件は \\[.5zh]    $\textcolor{red}{\bunsuu D4}=\{-\,(a-1)\}^2-(a^2-4)=-\,2a+5=\textcolor{red}{0}$ かつ $a-1>0$ \\[1zh]   よって $a=\bunsuu52$    このとき,\ 接点の座標は $\left(\pm\ruizyoukon3,\ \bunsuu32\right)$ \\\\[.5zh]   2つの接点のうち$x>0$のものをA,\ 点Aから$y$軸に下ろした垂線の足をHとする. \\[.2zh]   直角三角形$\mathRM{O’AH}の辺の比は1:2:\ruizyoukon3\,$であるから,\ $\textcolor{red}{\angle\mathRM{OO’A}=60\Deg}$である. \\\\ まずは円の中心の座標や接点の座標を求める必要がある. \\[.2zh] そのために,\ 円の方程式を文字でおいて放物線の式と連立する. \\[.2zh] 連立するとき,\ yを消去するとxの4次方程式となり,\ 扱うのが難しくなってしまう. \\[.2zh] よって,\ \bm{x^2\,を消去}し,\ yの2次方程式とするのがよい. \\[1zh] さて,\ 異なる2点で接するとき,\}を満たす\bm{実数xが2個存在する}必要がある. \\\\[-1zh] \bm{y>0なるyがただ1つ存在する}ならば,\ y=\bunsuu12x^2\,より,\ 実数xが2個存在する. \\[.6zh] 結局,\ 連立してできた\bm{yの2次方程式がただ1つの正の解をもつ条件を考える}ことになる. \\[.2zh] 重解条件が\bm{D=0},\ さらに正の解であるための条件が\bm{軸a-1>0}である. \\[.2zh] a=\bunsuu52\,のとき,\ y^2-3y+\bunsuu94=0より\left(y-\bunsuu32\right)^2=0,\ よってy=\bunsuu32\,である. \\[.8zh] y=\bunsuu12x^2\,より,\ 接点のx座標x=\pm\ruizyoukon3\,も求まる. \\\\ \bm{円が絡む面積は,\ 必ず扇形の面積を利用することになる.} \\[.2zh] そして,\ \bm{扇形の中心角は綺麗な角になる}はずである.\ でなければ面積を求めることができない. \\[.2zh] よって,\ 直角三角形を作成し,\ その辺の比から中心角を求めるとよい. \\[.2zh] 本問の場合,\ \mathRM{O’A=2,\ O’H=1,\ \angle O’HA=90\Deg\,より,\ \angle AO’H=60\Deg}であることがわかる. \\[1zh] 面積の求め方は複数考えられるが,\ いかに簡単な積分計算で済ませるかが重要である. \\[.2zh] 本解では,\ \bm{台形\mathRM{OO’AC}から半径2,\ 中心角60\Deg\,の扇形と下の部分を引いた面積を2倍}した. \\[.2zh] 台形の面積は(上底+下底)\times(高さ)\times\bunsuu12,\ 半径r,\ 中心角\,\theta\,ラジアンの扇形の面積は\,\bunsuu12r^2\theta\,である. \\\\ \betu\ \ 放物線y=\bunsuu12x^2\,と線分\mathRM{AB}で囲まれた部分の面積は \phantom{\betu\ \ }円と線分\mathRM{AB}で囲まれた部分のうち,\ 下側の面積は \\[.5zh] \phantom{\betu\ \ } (中心角120\Deg\,の扇形)-(二等辺三角形 を利用した. \\[1zh] 2次関数と直線で囲まれた部分の面積計算では,\ 必然的に\,\bunsuu16\,公式を利用できるのであった.
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