絶対値付き関数の定積分の最小値①:関数が動く

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絶対値付き関数の定積分は,\ まず絶対値をはずさなければ計算できない. \\[.2zh] このとき,\ \bm{面積としてとらえておく}と後の思考がスムーズにいく. \\[1zh] f(x)はxの関数だが,\ 定積分自体は積分変数がtなので,\ \bm{xは定数扱いでtの2次関数扱いとなる.} \\[.2zh] \zettaiti{t^2-xt}\,は全体に絶対値がついているので,\ 中身のy\leqq0の部分をt軸で折り返したグラフとなる. \\[.2zh] t^2-xt=t(t-x)=0より,\ y=t^2-xtはt軸とt=0,\ xで共有点をもつ2次関数である. \\[.2zh] 積分区間が0\leqq t\leqq1なので,\ \bm{t=xにおいてx\leqq0か0\leqq x\leqq1か1\leqq xで面積の形が変わる.} \\[.2zh] よって,\ 3つに場合分けして求めることになる. \\[1zh] [1]\ \ x\leqq0のとき,\ グラフより0\leqq t\leqq1ではt^2-xt\geqq0である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ 絶対値はそのままはずせる. \\[1zh] [2]\ \ 0\leqq x\leqq1のとき,\ グラフより0\leqq t\leqq xではt^2-xt\leqq0である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ -\,をつけて絶対値をはずす.\ \ x\leqq t\leqq1ではt^2-xt\geqq0である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{t=xを境に関数が変わるので,\ 積分区間を分割して積分する}必要がある. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 0\leqq t\leqq xの面積は,\ \bm{2次関数と直線の間の面積}である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ \bunsuu16\,公式\ \ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\ を用いて求められる. \\\\ \text{[3]}\ \ 1\leqq xのとき,\ グラフより0\leqq t\leqq1ではt^2-xt\leqq0である.\ -をつけて絶対値をはずす. \\\\ 結局,\ f(x)はx\leqq0のとき減少する直線,\ 1\leqq xのとき増加する直線であるとわかる. \\[.2zh] よって,\ f(x)がどこで最小となるかは0\leqq x\leqq1における変化で決まる. \\[.2zh] 0\leqq x\leqq1のときは3次関数なので,\ 微分して増減表を作成することになる. \\[.2zh] x\leqq0,\ 1\leqq xのときを含めた増減表を作成すると一見してわかりやすい.
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