積分方程式②(変数型)d/dx∫f(t)dt=f(x)の利用

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 2パターンの積分方程式のうち,\ \textbf{\textcolor{magenta}{積分区間に変数$\bm{x}$が含まれている}}型である. \\[.2zh]  この型の扱いもパターンとして決まっており,\ 以下の2つを行うことになる. \\[1zh]   $[1]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\,dt=f(x)}}\ (a:定数)を利用するため,\ \bm{\textcolor{red}{両辺をxで微分}}する.$ \\[1zh]   $[2]$\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{定積分が0となるような値を両辺のxに代入する.}}$ \bunsuu{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\,dt=f(x)は,\ 単純には\bm{積分∫したものを微分\,\bunsuu{d}{dx}\,すると元に戻る}ということである. \\[1zh] しかし,\ 丸暗記では応用が利かないので証明も重要である. \\[.2zh] 特に,\ \text{数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の積分では丸暗記は一切通用しない. \\[1zh] f(x)の原始関数をF(x)とする. \\[.5zh]  \bm{\bunsuu{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\,dt=\bunsuu{d}{dx}\teisekibun{F(t)}{a}{x}=\bunsuu{d}{dx}\{F(x)-F(a)\}=F'(x)=f(x)} \\[1.3zh] aが定数のときF(a)も定数となることから,\ \bunsuu{d}{dx}F(a)=0\ となるわけである. \\[1zh] \bunsuu{d}{dx}\dint{x}{a}f(t)\,dt=-\,f(x)\ となることもわかるはずである.  (1)\ \ $\textcolor{red}{両辺をxで微分}すると \bm{f(x)=2x+4}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)\ \ }$\textcolor{cyan}{両辺にx=1を代入}すると \textcolor{cyan}{0}=1^2+4\cdot1+a   \therefore \bm{a=-\,5}$ \ 両辺をxで微分するだけで容易にf(x)が求められる. \\[.2zh] また,\ \dint{a}{a}のように\bm{積分区間の両端が等しい定積分の値は常に0}となる. \\[1zh] よって,\ 両辺にx=1を代入すると定数aの値を求められる. {両辺をxで微分}すると }これが$x$についての恒等式であるから} (C:積分定数) \bunsuu{d}{dx}\dint{1}{x}tf'(t)\,dt=f'(x)より両辺を微分するとf'(x)が求まる. \\[1zh] (1+x)f'(x)=2(x+1)は方程式ではなく,\ xの値によらず成り立つ式(恒等式)である. \\[.2zh] 両辺の係数比較によりf'(x)=2となる.\ 両辺をx+1で割ったわけではないことに注意する. \\[.2zh] f'(x)が求まれば,\ 不定積分してf(x)が求められる. \\[1zh] さらに,\ \bm{定積分が0となる値を両辺のxに代入すると,\ 積分定数Cを定められる.}
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