積分方程式②(変数型)d/dx∫f(t)dt=f(x)の利用

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積分区間に変数${x}$が含まれているのが本問の特徴である.  基本方針は以下の2つのみである.   $$\ ${両辺をxで微分}し, を適用する.}$   $$\ ${定積分が0となるような値を両辺のxに代入する.$ d}{dx}∫a}{x}f(t)dt=f(x)\ の証明}を確認する. 単純化すると,\ {「積分したものを微分すると元に戻る」}と言えなくもない. しかし,\ 安易に単純化するのは,\ 特に数III}の積分を控える理系には危険である. f(x)の原始関数をF(x)とする. F(a)は定数であるから,\ {dF(a)}{dx}=0\ となるのである. 原理が理解できていれば,\ {d}{dx}∫x}{a}f(t)dt=-f(x)\ となることもわかる  \ $両辺をxで微分}すると  両辺をxで微分するだけで,\ 直ちにf(x)が求まる. また,\ {定積分の値は積分区間が一致すると常に0}となる. よって,\ 両辺にx=1を代入してaの値を求めればよい. 両辺をxで微分}すると両辺にx=1を代入 両辺を微分するとf'(x)が求まるから,\ これを不定積分してf(x)を求める. さらに,\ {積分区間が0となる値を代入して導かれる等式を用いて積分定数を定める.}
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