絶対値付き2次関数と直線で囲まれた面積の和の最小(1/6公式パズル)

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全体に絶対値がついたy=\zettaiti{x^2-2x}\,のグラフは,\ y=x^2-2xのy\leqq0の部分をx軸で折り返す. \\[.2zh] 場合分けして\,\zettaiti{x^2-2x}\,の絶対値をはずし,\ 原点を通る直線y=axとの交点を求める. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が0以上ならばそのまま,\ 0以下ならば-をつけてはずす. さて,\ \maru2の面積は,\ 普通に求めようとするとx=2\ で分割することになり,\ 面倒である. \\[.2zh] 実は,\ \bm{\maru1+\maru2は\,\bunsuu16\,公式により積分計算なしで求められる.} \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3 \\[1zh] \bm{直接\,\bunsuu16\,公式で求められるのは,\ \maru1,\ \maru1+\maru3,\ \maru4,\ \maru2+\maru3+\maru4\ の4つの面積}である.\\[.8zh] この4つの面積をS_1,\ S_2,\ S_3\,とし,\ \maru1+\maru2を表せばよい. \\[.2zh] このとき,\ パズル的にうまく足したり引いたりして組み合わせる必要がある. \\[.2zh] 最初は混乱するかも知れないが,\ 一度理解してしまえば大して難しくないことに気付くだろう. \\[.2zh] Sはaの3次関数になるので,\ 微分してSが最小となるaの値を求めることになる.
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