2次関数と接線とy軸に平行な直線の間の面積と裏技a/3公式①

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y’\,に接点(a,\ f(a))のx座標aを代入すると,\ その接点における接線の傾きf'(a)が求まる. \\[.2zh] 接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[1zh] y=\bunsuu12x^2-x+\bunsuu12とy=2x-4は,\ x=3の点で接する. \\[.8zh] \bm{「接する\,\Longleftrightarrow\,重解」}より,\ \left(\bunsuu12x^2-x+\bunsuu12\right)-(2x-4)=0はx=3を重解にもつはずである. \\[.8zh] さらに,\ f(x)=0がx=\alpha\,を重解にもつとき,\ f(x)は(x-\alpha)^2\,を因数にもつ. \\[.3zh] よって,\ \left(\bunsuu12x^2-x+\bunsuu12\right)-(2x-4)=\bunsuu12(x-3)^2\ と瞬時に変形できる. \\[.8zh] 左辺のx^2\,の係数は\,\bunsuu12\,で,\ (x-3)^2\,のみだとx^2\,の係数が1となるため,\ \bunsuu12\,を掛けたわけである. \\[.8zh] 以下のような途中計算をせずとも因数分解形に変形可能なことを理解してほしい. \\[.2zh]  \left(\bunsuu12x^2-x+\bunsuu12\right)-(2x-4)=\bunsuu12x^2-3x+\bunsuu92=\bunsuu12(x^2-6x+9)=\bunsuu12(x-3)^2 \\\\ このように,\ \bm{2次関数と接線とy軸に平行な直線の間の面積では,\ \underline{必然的に}\,\bunsuu13\,公式が利用できる.} \\[.5zh] 普通に\,\bunsuu12x^2-3x+\bunsuu92\,を定積分するのは,\ 本質的ではなく応用が利かないのでやめてほしい. \\[.8zh] \bunsuu13\,公式を利用すると,\ \bm{積分区間の一端\,\alpha\,を代入したときに必ず0になる}というメリットもある.   一般化・簡略化すると,\ 裏技公式が導かれる. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と接線とy軸に平行な直線の間の面積} y=ax^2+bx+cとそのx=\alpha\,における接線y=mx+nとx=\beta\,で囲まれた面積をSとする. \\[.2zh] 関数の上下関係や\,\alpha\,と\,\beta\,の大小関係が不明な場合も想定し,\ 絶対値をつけて計算すると以下となる. \ 接点のx座標を\,\beta,\ y軸に平行な直線をx=\alpha\,としても,\ 以下のように結局同じ公式が導かれる. \\ \bunsuu a3\,公式を用いると,\ \bm{x^2\,の係数,\,接点のx座標,\,y軸に平行な直線のx座標のみで面積を瞬殺できる.} \\[.8zh] \bm{面積を求めるだけならば接線の方程式を求める必要すらない}ことを理解してほしい. \\[1zh] \bunsuu a3\,公式は,\ \bunsuu a6\,公式の次に重要な裏技公式である. \\[.8zh] ただし,\ 裏技公式として結果を丸暗記するよりも,\ 導出過程の理解が100倍重要である. \\[.2zh] そもそも,\ 原理を理解しているならば裏技というほどのものではない.
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