4次関数と二重接線の間の面積と裏技a/30公式

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4次関数の二重接線の求め方は,\ 整式の微分分野でも説明した通りである. \\[.2zh] \bm{接点のx座標を文字で設定し,\ 恒等式を作成して係数比較する}のが標準解法である. \\[.2zh] y=f(x)とy=g(x)がx=\alpha\,で接するとき,\ f(x)-g(x)が(x-\alpha)^2\,を因数にもつことを利用する. \\[.2zh] 左辺がax^4\,の場合,\ 右辺はa(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\,となることに注意する.\ 本問はa=1である. \\[1zh] 実際の計算では,\ \alpha,\ \beta\,の対称性を生かさなければ面倒になる. \\[.2zh] つまり,\ 基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,を1つのカタマリとして展開する. \\[1zh] (x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \\[.2zh]  =\{(x-\alpha)(x-\beta)\}^2=\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}^2 \\[.2zh]  =x^4+(\alpha+\beta)^2x^2+\alpha^2\beta^2-2(\alpha+\beta)x^3-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+2\alpha\beta x^2 \\[.2zh]  =x^4-2(\alpha+\beta)x^3+\{(\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta\}x^2-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+(\alpha\beta)^2 \\[1zh] \maru1,\ \maru2から\,\alpha+\beta\,と\,\alpha\beta\,の値が求まるので,\ さらに\,\alpha,\ \beta\,を求めるとそれが接点のx座標である. \\[.2zh] 基本対称式\,\alpha+\beta,\ \alpha\beta\,をなす2文字の値を求めるとき,\ 2次方程式を作成するのが基本であった. \\[.2zh] t=\alpha,\ \beta\,を解にもつ2次方程式の1つは\ (t-\alpha)(t-\beta)=0   つまり\ \ t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0 \\[.2zh] \alpha+\beta=0,\ \alpha\beta=-\,1のとき\ \ t^2-1=0    よって\ \ t=\pm\,1 \\[1zh] 4次関数の図示は,\ 接点の座標やy軸との交点を考慮すると素早く図示できる. \\[.2zh] ただし,\ 4次関数のグラフの概形が\,\text W\,のようになることを知識としてもっておくことが前提である. \\[.2zh] なお,\ x^4\,の係数が負の場合,\ 上下を逆にした形になる. \\[1zh] 被積分関数は\ (x+1)^2(x-1)^2\ と瞬時に変形できる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{4次関数と二重接線の間の面積計算には,\ \underline{必然的に}\,\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\,dx\ が表れる.} \\[1zh] この定積分は,\ \bm{(x-\alpha)で展開し,\ \dint{}{}(x-\alpha)^n\,dx=\bunsuu{(x-\alpha)^{n+1}}{n+1}+C}\ に帰着させる. \\\\ 本問に限っては積分区間が対称なので,\ 普通に展開して計算するのも悪くない. \\[.2zh] 偶関数(y軸対称関数)の定積分\ \dint{-a}{a}x^{偶数}\,dx=2\dint{0}{a}x^{偶数}\,dx\ を利用することになる. \\
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