x²の係数が等しい2つの2次関数と共通接線の間の面積と裏技a/12公式②

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2次関数の交点を通る$\bm{y}$軸に平行な直線で分割すると,\ $\bm{\bunsuu13}$公式型面積に帰着する.}}  この他,\ 以下の2点を知識として持っておくことを推奨する.\ 証明は最後に示す. \\[1zh]   \textbf{知識\maru1 {2つの2次関数の交点の$\bm{x}$座標は,\ 必ず接点の$\bm{x}$座標の中点になる.}} \\[.5zh]   \textbf{知識\maru2 \{左側と右側の面積が必ず等しくなる.}} \\\\\\ まず,\ 2曲線の共通接線を求めるため,\ それぞれの接線の方程式を作成する. \\[.2zh]  y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[.5zh] よって,\ 各放物線の接線の方程式は y=a(x-a)+\bunsuu12a^2, y=(b-4)(x-b)+\bunsuu12b^2-4b+12 \\[.8zh] 後は2つの接線が一致する条件を立式すればよい.\ 結局,\ \bm{係数比較}することになる. \\[1zh] 共通接線の式,\ 接点の座標,\ 2つの放物線の交点の座標が求まれば,\ 積分して面積を求められる. \\[.2zh] x=3を境に上の関数が変わるので,\ 1\leqq x\leqq3と3\leqq x\leqq5に分割して定積分する. \\[.2zh] 結局,\ \bm{2次関数と接線とy軸に平行な直線で囲まれた面積}に帰着する. \\[.2zh] この構図の面積は,\ \bunsuu13\,公式を利用して求められるのであった. \\\\ 整式f(x),\ g(x)に対して以下が成立する. \\[.2zh]  y=f(x)とy=g(x)がx=\alpha\,で接する\,\Longleftrightarrow\,f(x)-g(x)=0がx=\alpha\,を重解にもつ \\[.2zh] \phantom{ y=f(x)とy=g(x)がx=\alpha\,で接する}\,\Longleftrightarrow\,f(x)-g(x)が(x-\alpha)^2\,を因数にもつ \\[1zh] \bunsuu12x^2-\left(x-\bunsuu12\right)=\bunsuu12(x-1)^2,\ \ \bunsuu12x^2-4x+12-\left(x-\bunsuu12\right)=\bunsuu12(x-5)^2\,と瞬時に変形できる. \\[.8zh] 最後,\ 検算のために知識\maru2を満たしているかを確認するとよい.   一般化すると,\ 裏技公式が導かれる. \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{\underline{x^2\,の係数が等しい}\ 2つの2次関数\ y=\textcolor{red}{a}x^2+\cdots\ と共通接線の間の面積}} y=ax^2+b_1x+c_1\,とy=ax^2+b_2x+c_2\,の共通接線をy=mx+n\,とする. \\[.2zh] また,\ それぞれの放物線上の接点のx座標をx=\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)とする. \\[.2zh]  (ax^2+b_1x+c_1)-(mx+n)=a(x-\alpha)^2, (ax^2+b_2x+c_2)-(mx+n)=a(x-\beta)^2 \\[.2zh] 2本の放物線の交点のx座標は,\ ax^2+b_1x+c_1=ax^2+b_2x+c_2\,の解である. \\[.2zh] つまり a(x-\alpha)^2+\teisei{(mx+n)}=a(x-\beta)^2+\teisei{(mx+n)} \\[.2zh] a\neqq0より (x-\alpha)^2=(x-\beta)^2  \teisei{x^2}-2\alpha x+\alpha^2=\teisei{x^2}-2\beta x+\beta^2 \\[.2zh] 2(\alpha-\beta)x=(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)   \therefore\ \ \alpha\neqq\beta\,より\ \ x=\bunsuu{\alpha+\beta}{2} \\\\ 関数の上下関係や\,\alpha\,と\,\beta\,の大小関係が不明な場合も想定し,\ 絶対値をつけて計算すると以下となる. \\[.8zh] 最初に述べた知識\maru1,\ \maru2が成立していることを確認してほしい. \\[.2zh] 同時に,\ \bm{2つの2次関数のx^2\,の係数が等しい場合のみ成立する}ことも確認してほしい. \\[.2zh] 実際,\ 2つの2次関数のx^2\,の係数をそれぞれa_1,\ a_2\,としてみる. \\[.2zh] a_1(x-\alpha)^2=a_2(x-\beta)^2\,となるから,\ 上のように綺麗にx=\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\,とはならない. \\[.8zh] 2つの2次関数の交点がx=\bunsuu{\alpha+\beta}{2}\,でなければ,\ 知識\maru2もS=\zettaiti{\bunsuu{a\vphantom b}{12}(\beta-\alpha)^3}\,も成り立たなくなる. \\\\ \bm{2つの2次関数のx^2\,の係数が異なる場合でも,\ 左右の面積をそれぞれ\,\bunsuu13\,公式で求めれば済む.} \\\\ 答えを求めるだけならば,\ 共通接線の方程式はもちろん,\ 実は接点の座標を求める必要すらない. \\[.2zh] \bm{x^2\,の係数が等しいとき,\ 接点のx座標の差\,\beta-\alpha\,は2つの2次関数の頂点のx座標の差と等しい.} \\
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