絶対値付き関数の定積分②:区間の上端のみが動く

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絶対値付き関数の定積分は,\ まず絶対値をはずさなければ計算できない. \\[.2zh] このとき,\ \bm{面積としてとらえておく}と後の思考がスムーズにいく. \\[.2zh] 絶対値は,\ 中身が0以上のときそのまま,\ 中身が0以下のとき-をつけてはずす. \\[1zh] f(x)はxの関数だが,\ 定積分自体は積分変数がtなので,\ \bm{xは定数扱いでtの2次関数扱いとなる.} \\[.2zh] \zettaiti{t^2-4t+3}\,は全体に絶対値がついており,\ 中身のy\leqq0の部分をt軸で折り返したグラフとなる. \\[.2zh] t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0より,\ y=t^2-4t+3はt軸とt=1,\ 3で共有点をもつ. \\[.2zh] 積分区間が0\leqq t\leqq xなので,\ \bm{0\leqq x\leqq1か1\leqq x\leqq3か3\leqq xかで面積の形が変わる.} \\[.2zh] よって,\ 3つに場合分けして求めることになる. \\[1zh] \text{[3]}の1\leqq x\leqq3の面積は,\ \bm{2次関数と直線の間の面積}である. \\[.2zh] よって,\ \bunsuu16公式\ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\bunsuu16(\beta-\alpha)^3\ を用いて求められる. \\\\ f(x)はx\geqq0のすべての範囲で3次関数となるので,\ 微分して増減表を作成することになる. \\[.2zh] 0\leqq x\leqq1,\ 1\leqq x\leqq3,\ 3\leqq xのときをまとめた増減表を作成すると一見してわかりやすい.
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