積分方程式①(定数型)、連立積分方程式

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$f(x)=x+\dint{0}{2}f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $f(x)=2x+\dint{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ \\ {積分方程式\maru1(定数型)}}}} \\\\[.5zh]  $f(x)$に関する定積分を含む等式を満たす$f(x)$を求めることを\textbf{\textcolor{blue}{積分方程式を解く}}という. \\[.2zh]  積分方程式には,\ \textbf{\textcolor{magenta}{積分区間に変数$\bm{x}$を含むか否か}}で2パターンに分類される. \\[1zh]  本項では,\ 積分区間に変数$x$を含まない定数型を取り上げる. \\[1zh]  $f(t)が何でも,\ 積分区間の両端が定数なので\bm{\textcolor{forestgreen}{\dint{a}{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)は定数}}である.$ \\[.2zh]  そこで,\ 一旦$\bm{\textcolor{red}{\dint{a}{b}f(t)\,dt=k\ (定数)}}$\ として,\ 方程式を解くことになる. \bm{定積分\dint{0}{2}f(t)\,dtを文字定数kで置換した後,\ そのkについて計算する.} \\[1zh] kについての等式が導かれるので,\ それを解くとkの値が求められる. \\[.2zh] この解法は覚えておかなければ気付かないだろう.\ 逆に,\ 解法暗記できていればサービス問題である \bm{\dint{0}{1}(x+t)f(t)\,dt\ は,\ 変数xを含むので定数になるとは限らない.} \\[1zh] よって,\ そのままでは文字定数で置換することはできない. \\[.2zh] そこで,\ 一旦\bm{展開して変数xを定積分の前に出す.} \\[.2zh] \bm{tについての定積分であるから,\ その中ではxは定数扱い}となり,\ 前に出せるわけである. \\[1zh] 2つの異なる定積分ができるので,\ それぞれを文字定数で置換する. \\[.2zh] (1)と同様にその文字について計算すると,\ 連立できる. 等式が2つあるが,\ 根幹は同じである.\ 定積分を文字定数でおいてそれぞれを計算していけばよい.
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