積分方程式①(定数型)、連立積分方程式

integral-equation-constant
f(x)=x+∫0}{2}f(t)dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$ $f(x)=2x+∫(x+t)f(t)dt\ を満たす関数f(x)を求めよ.$  「積分区間が定数から定数」が本問の特徴である.  よって,\ $f(t)がどんな関数であれ,\ {∫0}{2}f(t)dt\ は必ず定数になる.$  そこで,\ ${∫0}{2}f(t)dt=A\ (定数)$\ として,\ 方程式を解く.   f(x)を求めたいが,\ その求めたいf(x)がf(x)自身を用いて表されている. ここで,\ x=2x+2という式を考えてみよう.\ 単なるxの方程式である. これは見方を変えると,\ 求めたいxがxの式で表されている. よって,\ 本問は{f(x)の方程式}なのである.\ これを{積分方程式}という. 実際には,\ {定積分を文字定数で置換した後,\ その文字について計算していけばよい.} {∫(x+t)f(t)dt\ は,\ 変数xを含むから,\ 定数にはならない.} よって,\ そのままでは文字定数で置換することはできない. そこで,\ 一旦{展開してxを定積分の前に出す.} {tについての積分であるから,\ その中ではxは定数扱い}となり,\ 前に出せる. 後は2つの定積分をそれぞれ文字定数で置換し,\ それを計算して連立すればよい. 連立積分方程式 { $[l} 根幹は同じである.\ 定積分を文字定数でおいてそれぞれを計算していけばよい.
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