曲線$y=f(x)$は点(1,\ 4)を通り,\ 曲線上の任意の点$(x,\ y)$における接線の傾きが
$2x^2-x+3$であるとする.\ この曲線の方程式を求めよ. \\
{接線の傾きから関数の決定 \\
接線の傾きについて $f'(x)=2x^2-x+3$ \ (Cは積分定数)$ \\
曲線$y=f(x)$が点(1,\ 4)を通るから $f(1)=4}$
y=f(x)上の任意の点における接線の傾きを表すのが導関数f'(x)}であった.
よって,\ これを積分することによってf(x)を求めることができる.
ただし,\ f'(x)=2x^2-x+3となるようなf(x)は,\ 定数差を考慮すると無数に存在する.
これらの全体を積分定数Cを用いて表すのであった.
本問では,\ さらに点(1,\ 4)を通るという条件を考慮することにより,\ 曲線がただ1つに定まる.}
f(1)=4のように積分定数の値を決定する条件を初期条件}という.
