3次関数と接線の間の面積と裏技a/12公式③

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よって $(-1,\ 1)における接線の方程式は y=(x+1)+1=x+2$  この接線と3次関数の交点の$x$座標を求める. 無理矢理(x+1)の形を作り出した}(x+1)の形のまま展開}]$} 接線と3次関数の交点は,\ {「接する 重解」}を利用して簡潔に求める. y=x³-2x\ と\ y=x+2\ は,\ x=-1\ で接し,\ x=2\ で交わることがわかる. 同時に,\ (x+2)-(x³-2x)=0\ は,\ x=-1\ (重解)と\ x=2\ を解にもつとわかる. 途中計算をせずに,\ この変形を瞬時に行っていることに着目して欲しい. 結局,\ {3次関数と接線の間の面積では,\ 必ず\ ∫α}{β}(x-α)²(x-β)dx\ が表れる.} この定積分計算は,\ 技巧を凝らして求める. 本問の場合,\ {x+1で展開し,\ (x-α)^n\ の積分公式に帰着させる.} 慣れが必要だが,\ 応用性を考えると是非とも習得して欲しい解法である. なお,\ 本問のグラフは,\ 次を考慮して素早く描く. x³-2x=x(x²-2)=0\ より x=0,\ √2 増減表の作成や極値を求める必要はない.  次の公式を用いると,\ 定積分計算を瞬殺できる. 記述試験でいきなりこの公式を使ってよいかは微妙である. 差し迫った状況でもない限り,\ 途中過程も記述しておくのが安全である. }]$  この公式を用いた解答を一般化・簡略化したものが,\ 次の裏技である. ${3次関数\ y=a}x³+\ と接線の間の面積$} 上の問題でこの公式を用いると  {接点と交点の一方が\ x=α,\ 他方が\ x=β\ (α<β)\ である. 他の{a}{12}公式とは異なり,\ {4乗であることに注意!!!
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