3次関数と接線の間の面積と裏技a/12公式③

スポンサーリンク
特段の工夫無く求めることも可能だが,\ 素早く簡潔に求める方法を習得してほしい. \\[.2zh] y=f(x)上の点(a,\ f(a))における接線の方程式は y=f'(a)(x-a)+f(a) \\[1zh] 囲まれた部分の面積を求めるには,\ 3次関数と接線の接点以外の共有点を求める必要がある. \\[.2zh] 方程式x^3-3x-2=0は,\ \bm{「接する\Longleftrightarrow 重解」}を利用すると素早く解くことができる. \\[.2zh] y=x^3-2xとy=x+2はx=-\,1で接するから,\ x^3-3x-2はx=-\,1を重解にもつ. \\[.2zh] よって,\ x^3-3x-2=(x+1)^2(x+p)のように因数分解できるはずである. \\[.2zh] さらに,\ 左辺の定数項は-2で右辺の定数項はpなので,\ p=-\,2であることがすぐにわかる. \\[.2zh] \bm{3次方程式の解と係数の関係}を利用することもできる. \\[.2zh]  ax^3+bx^2+cx+d=0の3解を\,\alpha,\ \beta,\ \gamma\,とすると \alpha+\beta+\gamma=-\bunsuu ba \\[.8zh] x=-\,1を重解にもつから,\ 他の解を\,\alpha\,とすると (-\,1)+(-\,1)+\alpha=0   \therefore\ \ \alpha=2 \\[1zh] 同時に,\ 被積分関数が(x+2)-(x^3-2x)=-\,(x+1)^2(x-2)と変形できることもわかる. \\[.2zh] 左辺のx^3\,の係数は-1で,\ (x+1)^2(x-2)のみだとx^3\,の係数が1となるため,\ -\,1を掛けている. \\[.2zh] 結局,\ \bm{3次関数と接線の間の面積は,\ 必ず\ \dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dxに帰着する.} \\[1zh] この定積分計算は,\ \bm{(x-\alpha)で展開して求める}と簡潔に済むのであった. \\[.2zh] 本問の場合,\ x-2=(x+1)-3と変形し,\ (x+1)を1つのカタマリとみて展開する. \\[.2zh] あとは,\ 公式\ \dint{}{}(x-\alpha)^n\,dx=\bunsuu{(x-\alpha)^{n+1}}{n+1}+C\ を用いると素早く面積を求められる. \\\\ 本問の図は,\ (-\,1,\ 1)で接していることと(2,\ 4)で交わっていることが認識できる程度でよい. \\[.2zh] 増減表を作成する必要はない.\ 3次関数のグラフの概形を覚えておくことが前提である. \\[.2zh] 3次関数とx軸の交点がx=0,\ \pm\sqrt2\,であることも考慮するとより正確に図示できる. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\   途中で登場する定積分に関しては,\ 以前以下の公式を取り上げた. 記述試験で無断使用してよいかは微妙なので,\ 検算用と考えておくのが安全である.   さらに一般化すると,\ 裏技公式が導かれる. y=ax^3+bx^2+cx+dとy=mx+nがx=\alpha\,で接し,\ x=\beta\,で交わるとする. \\[.2zh] 関数の上下関係や\,\alpha\,と\,\beta\,の大小関係が不明な場合も想定し,\ 絶対値をつけて計算すると以下となる. \\[1zh] S=\zettaiti{\dint{\alpha}{\beta}\{(mx+n)-(ax^3+bx^2+cx+d)\}\,dx}=\zettaiti{-\,a\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx}=\zettaiti{\bunsuu{a\vphantom b}{12}(\beta-\alpha)^4} \\[1zh] 特に,\ \alpha<\beta\,のとき S=\bunsuu{\zettaiti a}{12}(\beta-\alpha)^4 \\\\ 本項までの\,\bunsuu a6,\ \bunsuu a3,\ \bunsuu{a}{12}\,公式シリーズとは異なり,\ 本項の\,\bunsuu{a}{12}\,公式は\bm{4乗}であることに注意する.
タイトルとURLをコピーしました