2次関数と法線の間の面積の最小値

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重要なポイントは以下の3点である.   $$\ 解と係数の関係で他の交点を求める.   $$\ ${16公式\ で面積を求める.$   $[3]$\ 相加平均と相乗平均の関係で最小値を求める.  $y’=x\ より,\ (a,\ 12a²)$\ における接線の傾きは$a$である.  法線の方程式は  と$y=12x²の交点のx座標は,\ 12x²=-1ax+12a²+1\ の解である.$  整理すると  $x=aを解にもつから,\ もう1つの解を\ とおく.$  解と係数の関係}より    であるから,\ (相加平均)(相乗平均)}により$ 2直線\ y=m₁x+n₁,\ y=m₂x+n₂\ の垂直条件は {m₁m₂=-1} よって,\ 法線の傾きをmとすると ma=-1 より {m=-1a} 法線と2次関数を連立し,\ 交点のx座標を求める. 2次方程式を因数分解や解の公式で解くのは面倒であり,\ 必要ない. x座標の1つが\ x=a\ であることは既知だからである. 1つの解が既知ならば,\ {もう1つの解は解と係数の関係で簡単に求まる.} {2次関数と直線の間の面積}であるから,\ 16公式を利用できる. 解に持つ. よって,\ と変形できる. α=-a-2a\ を代入するのは,\ 16公式適用後でよい. 2a+2a\ の最小値は,\ {相加平均と相乗平均の関係}を用いて求める.  a+b2√{ab} (等号成立\ a=b)} 一般に,\ {○+{1}{○}\ の形の最小値}は,\ 相加相乗で求まるので,\ 常に意識しておく. また,\という条件も,\ 相加相乗を使う1つの目安である. 相加相乗で最小値を求めるとき,\ 必ず{等号成立条件\ a=b\ の確認}を要する. S{16}{3}\ だけでは,\ (Sの最小値)={16}{3}\ を意味しない. (Sの最小値)=100\ であっても,\ S{16}{3}\ が成立するからである. S={16}{3}\ を満たすaが存在して初めて,\ 最小値{16}{3}といえるのである.
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