6-12-30

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これらの定積分は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{\underline{数学的必然性を持って}面積計算に頻出する.}} \\  \textbf{\textcolor{magenta}{記述試験における必須の技巧}}があるので,\ 必ず習得しよう. \\[1zh]  まず,\ \textbf{\textcolor{red}{無理矢理\ $\bm{(x-\alpha)^n}$\ の形を作り出す.}} \\[.2zh] 最後,\ \bm{必ず\ (\beta-\alpha)^n\ の形に整理される.} \\ この計算技巧の意義は,\ 計算が簡単になるというだけではない. \\ 何よりも重要なのは,\ \bm{最終結果が簡潔な形になる}ことである. \\ もし,\ 一旦展開してから定積分すると,\ (\beta-\alpha)^nの形に戻す羽目になる. \\ n乗になることを知っていれば可能だが,\ 知らなければ気付くのは難しい. \\ 展開した形で答えればよいのではないかと思うかもしれない. \\ しかし,\ \bm{n乗の形でなければ解けない応用問題も存在する}のである. \\[1zh] \alpha\ から\ \beta\ まで積分したときに,\ マイナスがつき,\ \beta-\alpha\ の3乗になる. \\ 正負や,\ \alpha\ と\ \beta\ を逆にしないように注意して暗記する. \\[1zh] この公式は裏技ではなく,\ \bm{常識}である. \\ \bm{記述試験では,\ 積極的に使用することを前提として問題が作られている.} \\ 今回は参考として計算過程を示したが,\ 実際は公式を適用して瞬殺する. 無理矢理x-\alpha\ を作り出す}]$} \\[.3zh] この公式を記述試験で使ってよいかは微妙である. \\ 応用問題で,\ 残り時間がなさそうな場合には使ってもよいだろう. また,\ (1),\ (2)とは異なり,\ -はつかないので注意. \\ この公式を記述試験で使うのは,\ さすがに乱暴なので推奨できない.  数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iを学習した理系ならば,\ \textbf{\textcolor{blue}{置換積分}}するほうが自然かもしれない. \\\\  定積分を面積と見なすことで,\ 実質置換積分が可能}}になる. \\\\  $\textcolor[named]{ForestGreen}{(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\ は4次関数で,\ x=\alpha,\ \beta\ でx軸と接する(重解だから).}$ \\[.2zh]  よって,\ $\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\,dx\ が表す面積は,\ 左下図である.$ \\[.2zh]  これを,\ $\bm{\textcolor{red}{x方向に-\alpha\ 平行移動しても面積は変わらない}(右下図).}$ \\  最後に,\ \textbf{\textcolor{blue}{この種の定積分を一般化した式}}を紹介する. \\  数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iの範囲だが,\ 結果が必ず\ $\beta-\alpha$\ の累乗の形になることは覚えておく. \\[1zh]