対角線の長さとなす角で表された四角形の面積公式 S=1/2pqsinθ(裏技)の証明、対角線の長さの和が一定である四角形の面積の最大

}四角形ABCDにおいて,\ 対角線の長さを$p,\ q$,\ 対角線のなす角を$θ$とする. 四角形ABCDの面積を$S$とするとき,\ $S=12pqsinθ$となることを示せ. 対角線の長さの和が1となる四角形のうち,\ 面積が最大になるのはどのような 四角形か.\ また,\ 面積の最大値を求めよ. 対角線の長さとなす角で表された四角形の面積 対角線の交点をEとする. { }${AE=a,\ BE=b,\ CE=c,\ DE=d}\ とおくと p=a+c,\ q=b+d$ { }$よって,\ S=12(a+c)(b+d)sinθ}\ を証明すればよい.$ 対角線と平行な直線を四角形ABCDの頂点を通るように引く. { }このようにしてできる四角形FGHIは平行四辺形}であり,\ その面積は$pqsinθ}$である. { }よって,\ 四角形ABCDの面積は${S=12pqsinθ}$である. $[l} 本解は素直な解答である.\ 多角形の面積は,\ {三角形に分割}が基本であった. 四角形{ABCD}を対角線で4つの三角形に分割してそれぞれの面積を求めたわけである. sin(180°-θ)=sinθ\ であるから,\ {∠{AED=θとしても同じである. 本問には圧倒的に簡潔な別解があるので習得しておきたい. 四角形{FGHI}は,\ 2組の対辺が平行になるので平行四辺形である. {FHI}の面積は12pqsinθであるから,\ 四角形{FGHI}の面積はpqsinθである. 四角形{AEDF}も平行四辺形であり,\ 対角線{AD}で面積が2等分される. 他も同様であるから,\ 四角形{ABCD}の面積は四角形{FGHI}の面積の半分である. S=12pqsinθは,\ 受験では{裏技公式}の扱いとなる.\ 実用上は次の2点が重要である. 四角形が円に内接している必要はない. 面積から逆に対角線のなす角を求めるために使われることが多い. なお,\ 記述試験で使用してよいかというのは愚問である. 別解のように簡潔に示しておけばよいのであり,\ わざわざ無断使用というリスクを冒す必要はない. $p+q=1}$より $S=12pqsinθ=12p(1-p})sinθ (0<p<1)$ { }$p(1-p)=-(p-12)²+14$より,$p=q=12$のとき$pq$は最大値$14$}をとる. { }また,\ $0°<θ<180°$であるから,\ $θ=90°$のとき$sinθ$は最大値1}をとる. { }このとき $S=12pqsinθ=1214}1}=18$ $$長さがともに${12}$の対角線が直交するとき,\ 四角形の面積は最大値${18}$をとる. に対角線の長さの和が1という条件を反映させる. 結局,\ 2変数関数12p(1-p)sinθの最大を考えることになる. 2変数関数の最大・最小は様々なパターンがあるが,\ 本問は最も簡単なパターンである. {p(1-p)とsinθの最大を別々に考えれば済む}からである. このような方法が可能なのは,\ {2変数pとθが独立}(無関係に変化)だからである. 例えば,\ pが大きくなったからといって,\ θが大きくなるとか小さくなるとかといったことはない. p(1-p)=-p²+pは2次関数であるから,\ 平方完成して最大を求める. 図形問題で関数の最大を考えるとき,\ {範囲があることが多い}ので注意が必要である. 本問の場合,\ 0<p<1の範囲で最大を考えることになる. また,\ 角度は0°<θ<180°の範囲で考えることになる.
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