三角形を解く(三角形の6要素の決定)

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次の$$ABCの残りの辺の長さと角の大きさを求めよ. 三角形には6要素(3辺と3角)がある. 少なくとも1つの辺さを含む3要素が与えられれば,\ 他の3要素も定まる. 3つの角が与えられただけでは三角形は定まらない(相似な三角形が無数にある). 正弦定理・余弦定理で3要素から残りの3要素を求めることを三角形を解くという. 第1余弦定理}より 頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとする. 直角三角形である. 求めやすい部分から順に求めていけばよい.\ 2つの角が既知なので直ちに残りの1つの角が求まる. 次に,\ 正弦定理によってbを求めることができる. ここで,\ 15°,\ 75°,\ 105°の三角比の値は数{I}の範囲では知らないことが前提である. よって,\ 対角が105°のcを正弦定理で求めることはできない.\ sin105°を知っているならご自由に. 結局,\ C以外の角を用いる余弦定理で求めざるを得なくなる. ここではAを用いる\ a²=b²+c²-2bccos A\ を適用した. 2次方程式となり解が2つ出てくるが,\ 1-3<0よりcが1つに定まる. Aとbが求まった後は第1余弦定理c=acos B+bcos Aを用いるとcが楽に求められる(別解1). 右図のように垂線を下ろして考えるとほぼ自明な定理である. そもそも最初に垂線を下ろしてしまえば中学レベルの知識でA,\ b,\ cが瞬時に求まる(別解2). 実は,\ 「三角形を解く」問題において中学範囲に帰着したのはたまたまではない. 6要素すべてが求められるためには,\ 前提として3つの角すべてが綺麗な角でなければならない. 必然的に三角定規の直角三角形を元にしてできた三角形を出題せざるを得ないのである. 以降も垂線を下ろせばあっさり求まってしまうが,\ 学校の先生の機嫌を損ねるという弱点がある. b,\ c,\ Aが既知なので,\ 余弦定理でaを求めるのが初手である. 問題はその次である.\ まず,\ BとCのどちらを先に求めるかという2択に迫られる. 本問ではCを先に求めようとすると行き詰まる.\ cos75°の値を知らないからである. よって,\ Bを先に求めるしかない.\ そして,\ Bを求めるときに正弦定理と余弦定理の2択を迫られる. どちらでも求まるのだが,\ 正弦定理を用いた場合はその落とし穴に注意しなければならない. 0°<θ<180°の範囲では\ cosθとθは1対1で対応する. よって,\ 余弦定理で角度を求めた場合はただ1つの解が自動的に求まる. は有理化してもよいが,\ 本解のように変形後約分すべきである. 一方,\ 0°<θ<180°の範囲では\ sinθとθは1対2で対応する(90°以外). よって,\ 正弦定理で角度を求めた場合は2つの解が求まることになる. この場合,\ 2つの解のうちのどちら(あるいは両方)が正解かを判断しなければならなくなる. 本問の場合,\ sin B={1}{2}\ よりB=45°,\ 135°となるが,\ A=60°を考慮するとB=45°に定まる. 計算は面倒だが安全な余弦定理と,\ 計算は楽だが危険な正弦定理の選択になるわけである. より重要なのは,\ {問題を見た時点で条件を満たす三角形は1つしかないことに気付く}ことである. 中学では三角形の合同条件を学習した.   3辺がそれぞれ等しい 2辺とその間の角がそれぞれ等しい 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい [-.5zh] 合同条件を言い換えると{三角形がただ1つに定まる条件}である(等しければ合同なのだから). 本問の条件はの場合に相当するから,\ これを満たす三角形はただ1つしか存在しないはずである. 合同条件より,\ 3辺が与えられた本問の条件を満たす三角形もただ1つである. まずは余弦定理で角度を求めることになるが,\ 求まるか否かは計算してみないとわからない. 結果から言えばAを求めることはできないのでBかCを先に求めることになる. 今回は先にBを求めた.\ この後Cを求めるとき,\ 正弦定理と余弦定理の2択となる. 正弦定理を用いるとC=45°,\ 135°\ となるが,\ 三角形は1つしかないはずである. そこでB=30°であることを考慮してみるものの,\ A+B+C=180°であることと矛盾しない. ここでは,\ {対辺が長いほどその角度は大きい}という事実に基づいて判断する必要がある. a=3-1,\ b=2,\ c=2のうち最も長いのはcであるから,\ Cが最大角である. C=45°とするとA=105°となってこれに矛盾する. 与えられている辺と角は合同条件を満たすものではないので三角形がただ1つとは限らない. 余弦定理を用いるとa=31>0より,\ 条件を満たす三角形は2つ存在する. 正弦定理や第1余弦定理を利用すると簡潔に求められる. B=60°,\ 120°はA+B+C=180°ともb(=6)>c(=2)とも矛盾しない.
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