3辺の長さが等しい(三脚型)四面体の体積

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OA=OB=OC=6,\ AB=5,\ BC=7,\ CA=8}$である四面体OABCの体積$V$を 辺の長さが等しい四面体の体積 ${頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足をHとする.}$ ${OA=OB=OCかつOHが共通しているから,\ OAH≡ OBH≡ OCHである.}$ $よって,\ {AH=BH=CH}であるから,\ 点Hは ABCの外心である.$ 余弦定理より\ 正弦定理より\ 三平方の定理より 等しい3辺を三脚のように立てた四面体として考える. 四面体の頂点から垂線を下ろし,\ 直角三角形の合同条件{「斜辺と他の1辺が等しい」}を考慮する. すると,\ {垂線の足が底面の三角形の外接円の中心}となっていることがわかる. 正弦定理を用いて外接円の半径を求めた後,\ 三平方の定理で四面体の高さを求めればよい. なお,\ 正弦定理を適用するには,\ まず余弦定理でcosを求める必要がある. 上の解答では∠{BAC}が有名角となることに着目したが,\ sin²θ+cos²θ=1でsinを求めてもよい. 前項では,\ 対称性を利用して正四面体の体積を求める方法を示した. 正四面体も3辺の長さが等しい四面体の一種であるから,\ 当然この解法でも求められる(やや面倒).
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