第2余弦定理(三平方の定理の一般化)と第1余弦定理の証明と利用

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A=90°$のとき,\ 対辺の長さ$a$は\ ${a²=b²+c²$\ (三平方の定理)で求められる. では,\ $A90°$のときはどうやって対辺の長さ$a$を求めればよいのだろうか. 中学で学習した三平方の定理を直角三角形以外の三角形でも使えるように拡張しよう. 直接三平方の定理が使えないならば,\ 使えるように直角三角形を作ればよい. $A<90°}$のとき,\ 頂点Bから辺ACに下ろした垂線の足をHとする(左図).  直角三角形を用いた三角比の定義より ${AH=ccos A,BH=csin A$  よって ${CH=AC-AH=b-ccos A$  ${BCH}$に三平方の定理}を適用すると A=90°}$のとき$cos A=0$より,\ は$a²=b²+c²$となる.  よって,\ は$A=90°$のときも成り立つ.  $A>90°}$のとき,\ 頂点Bから辺ACの延長線上に下ろした垂線の足をHとする(右図). 同様にして,\ 文字を循環させた式も成り立つ.\ これらを第2余弦定理という.{第2余弦定理 隣り合う2辺の長さとその間の角の余弦(${cos}$)から対辺の長さが求まることを意味する. 第2余弦定理を逆に用いると,\ 3辺の長さから角の余弦(${cos}$)を求めることもできる. 上の式を変形しただけだが,\ 使用頻度が高いのでこの形でも暗記しておくべきである. 第2余弦定理は暗記必須だが,\ 文字のまま丸暗記するようなことをしてはならない. 次のように,\ 図形的な位置関係を踏まえた意味合いで暗記する. cyan}{.2}{dc}dc}{${(対辺)²=(隣辺)²+(隣辺)²-2(隣辺)(隣辺)(余弦)$ cyan}{.2}{dc}dc}{${(余弦)={(隣辺)²+(隣辺)²-(対辺)²}{2(隣辺)(隣辺)}$ こう覚えておけば3つの式を1つずつ暗記するような愚かなことをせずに済む. これは余弦定理に限った話ではなく,\ 本来公式とはこのように認識すべきものである. さて,\ 第2余弦定理というからには当然第1余弦定理も存在する. これは習うことも使う機会もほとんどない.\ 難しい定理ではないので軽く紹介しておく. 鋭角三角形のとき,\ 頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする(左図). 直角三角形を用いた三角比の定義より 同様にして,\ 文字を循環した式も成り立つ. 左図をイメージすると明らかなので覚える必要は全くない. 第1余弦定理$ABCにおいて次の値を求めよ. 頂点Bから辺ACの延長線上に下ろした垂線の足をHとする. \ $$ABHは$30°,\ 60°,\ 90°$の直角三角形であるから \ 三平方の定理 2辺の長さとその間の角度が既知なので,\ 対辺の長さは普通に余弦定理を適用するだけで求まる. 正弦定理の場合と同様,\ 垂線を下ろして三角定規の直角三角形を作ると中学レベルの知識で求まる. 3辺の長さが既知なので,\ 余弦定理によって角度を求めることができる. 本問の場合は有理化せずとも因数分解してから約分すると楽である. aを求めるのであるから,\ a²=b²+c²-2bccos A\ を利用するのが普通である. しかし,\ 本問で与えられているのはBであり,\ Aは未知である. よって,\ 必然的に\ {b²=c²+a²-2cacos B}\ を利用せざるを得なくなる. 既知のb,\ c,\ Bを代入するとaの2次方程式に帰着する. 2個の解のうち,\ {正であるものだけを最終的な答え}とする. 本問の場合はいずれも正なので答えは2つになる. 図のように,\ 条件を満たす{ABC}は2つ存在するわけである.
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