三角形の面積のヘロンの公式S=√s(s-a)(s-b)(s-c)の証明と利用

3辺の長さ$a,\ b,\ c$から直接三角形の面積$S$を求める公式がある. 余弦定理\ cos A={b²+c²-a²}{2bc}\ を用いて,\ 公式S=12bcsin Aを3辺の長さのみの式に変形する. 一見鬱陶しく見える証明だが,\ 因数分解した後sで表し直すだけである. 根号の中を通分後,\ 分母は根号の外に出し,\ 分子はA²-B²=(A+B)(A-B)を適用する. 整理してb²+2bc+c²,\ b²-2bc+c²を作ると,\ 再びA²-B²=(A+B)(A-B)を適用できる. 後は,\ これをs={a+b+c}{2}\ で表す.\ 式からわかるように,\ {sは周長の半分}を意味する. a+b+c=2sと考えると,\ b+c=2s-aよりb+c-a=2s-2a\ などとできる. さて,\ ヘロンの公式は{3辺が整数の三角形の場合}には非常に強力である. 一方,\ 3辺に根号が含まれていたりすると,\ sが複雑な形になり計算がかなり面倒になる. その場合は,\ 普通に12bcsin Aで求める方針の方が楽になる. なお,\ ヘロンの公式は裏技ではないので記述試験でも堂々と使ってよい. a=4,\ b=5,\ c=6である{ABC}の面積Sを求めよ.$ $a=3+2,\ b=3-2,\ c=4である{ABC}の面積Sを求めよ.$ $a=5,\ b=6,\ c=7\ である{ABC}の面積Sを求めよ.$ 3辺が整数なのでヘロンの公式が極めて有効である. 3辺の和a+b+cが偶数になる場合にはさらに効果的である. 3辺に無理数を含む三角形は,\ 基本的にはヘロンの公式で求めるのが困難である. しかし,\ 本問のように共役な無理数である場合にはsが簡潔になるので有効である. s={5+6+7}{2}\ となるので,\ ヘロンの公式を適用しても面倒なだけである. この場合,\ ヘロンの公式の導出の途中で現れる式\maru Aを適用する裏技的方法がある. \maru Aは2乗のみでできた式なので,\ 無理数があっても容易に計算できるというわけである. しかし,\ 記述試験で無断使用するのは避けた方がよい.
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