円に内接する四角形の対角線の長さと面積

四角形${ABCD}は円に内接しており,\ {AB=4,\ BC=5,\ CD=7,\ DA=10}\ である.$ 次の値を求めよ.  $対角線{BD}の長さ$        四角形ABCDの面積$S$ 円に内接する四角形の対角線の長さと面積 円に内接する四角形では対角の和が${180°}$となるのであった. 綺麗な角度の場合は,\ 単純に利用すればよい.\ 例えば,\ 一方が$60°$ならば他方は$120°$である. しかし,\ 綺麗な角度でない場合,\ 以下の考え方が必要になる. 2つの三角形にそれぞれ余弦定理を適用し,\ 対角線の長さをを2通りに表す.} 余弦定理を適用}すると$ 余弦定理を適用}すると$ {∠ C=180°-∠ A}に注意して余弦定理を適用し,\ 公式\ {cos(180°-θ)=-cosθ}\ も用いる. {BD}²を2通りに表すとまずcos Aを求めることができ,\ 直ちに{BD}も求められる. 2つの三角形に分割して求める.\ 公式\ {sin(180°-θ)=sinθ}\ により,\ 結局sin Aだけで求まる. sin²θ+cos²θ=1を利用して,\ sin Aを求めればよい. 答えだけでよい場合は,\ 裏技ブラーマグプタの公式が有効である(詳細は別項).  s={4+5+7+10}{2}=13   \ S={(13-4)(13-5)(13-7)(13-10)}={36}

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