三角形の外接円の半径、内接円の半径と面積の関係 S=1/2r(a+b+c)

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{ABC}\ において,\ a=5,\ b=6,\ c=7\ とする.$ $このとき,\ 外接円の半径Rと内接円の半径rを求めよ.$ 三角形の外接円の半径と内接円の半径 外接円の半径} 正弦定理を適用する. 内接円の半径 他の方法で面積Sを求め,\ cyan}{.1}{dcyan}dcyan}{${S=12r(a+b+c)$}を用いて逆算する. 今後の応用を考えると,\ $S=12r(a+b+c)$は証明も重要である. 右図のように,\ 内心Iから頂点に線を引き,\ $$ABCを三等分する. 正弦定理を使うにも,\ 面積を求めるにも,\ sinの値が必要である. 3辺の長さが既知ならば余弦定理でcosを求めた後,\ sin²θ+cos²θ=1でsinθを求められる. 外接円の半径は,\ そのまま正弦定理を使うだけである. 内接円の半径は,\ S=12bcsin Aで面積を求めた後,\ S=12r(a+b+c)に代入して逆算する. 3辺が整数なので,\ 内接円の半径を求めるだけならばヘロンの公式を用いて面積を求めるのが速い. ヘロンの公式 s={a+b+c}{2}\ とすると S={s(s-a)(s-b)(s-c)}
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