解けない三角方程式から三角比の値

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180°$とする.\ $2sinθ+2cosθ=1$のとき,\ $sinθ,\ cosθ,\ tanθ$の値を求めよ. 解けない三角方程式から三角比の値 本問の等式を満たす$θ$は綺麗な角ではないので,\ 求めることはできない. しかし,\ $sinθ$と$cosθ$の等式があれば,\ $θ$が求まらなくても三角比の値ならば求められる. $sinθ$と$cosθ$の間には,\ 常に${sin²θ+cos²θ=1$の関係が成り立つからである. 単純な問題だが盲点となるので,\ たまに問われるとできない学生がかなり多い. 要は,\ {2sinθ+2cosθ=1とsin²θ+cos²θ=1の連立方程式}である. {代入法}によって解くことになるが,\ sinθとcosθのどちらを残すかで後の思考量にわずかに差が出る. 今0°θ180°であるから,\ 0sinθ1,\ -1cosθ1である. ここで,\ 単位円による定義より,\ いかなるθの値に対しても-1sinθ1,\ -1cosθ1である. よって,\ 0sinθ1を満たすsinθに対応するcosθ\ (-1cosθ1)は必ず存在する. 一方で,\ -1cosθ1を満たすcosθに対応するsinθ\ (0sinθ1)が存在するとは限らない. -1sinθ<0となるかもしれないからである. cosθを先に求めると,\ sinθ\ (0sinθ1)が存在するかを後から確認する必要が生じる. 実際,\ 本問でcosθを残すと,\ cosθ={17}{4}\ となり,\ いずれも-1cosθ1を満たす. しかし,\ cosθ={1+7}{4}\ のとき\ sinθ=12-cosθ={1-7}{4}<0となるから不適である. 先にsinθを求め,\ cosθを求める前に0sinθ1を満たすsinθに絞っておくのがよいわけである. 数II}の三角関数でも扱うが,\ 下図のような図形的な意味があるので確認しておいてほしい. 単位円を用いた定義より,\ sinθ,\ cosθは座標平面上におけるy,\ xに対応するのであった. よって,\ {2y+2x=1とy²+x²=1の交点のx座標がcosθ,\ y座標がsinθ}である. 2x+2y=1は直線の方程式,\ x²+y²=1は中心原点,\ 半径1の円の方程式である. また,\ tanθは原点と点(cosθ,\ sinθ)を通る直線の傾きに等しいのであった. なお,\ 0sinθ1として除外したsinθ={1-7}{4}は,\ 直線と円の下半分の交点に対応する.
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