単位円を用いた三角比(sinθ、cosθ、tanθ)の定義とその理由、0°~180°の三角比

正弦対辺斜辺{余弦\ 正接 これが直角三角形を用いた三角比の定義であった. この定義には${θ}$が鋭角(${0°<θ<90°}$)に限られるという重大な欠点がある. そこで,\ どんな角度でも扱えるように定義を拡張する必要がある. 三角比は角度${θ}$が同じである限り,\ 三角形の大きさや形状によらず同じ値になるのであった. ならば,\ 最も楽な三角形で三角比を考えれば済む.\ それはどんな三角形だろうか. 結論から言えば,\ 定義の分母が1になる三角形である. つまり,\ 斜辺1の直角三角形で考えると${sinθ}$は対辺${y}$,\ ${cosθ}$は底辺${x}$の長さと一致する. ここで,\ 角度$θ$の頂点を原点に固定し,\ 斜辺の長さを1に保ったままを$θ$を変化させる. すると,\ 原点を中心とする半径1の円(単位円)が浮かび上がってくる. またこのとき,\ 底辺と対辺の長さ$x,\ y$は,\ 斜辺と円の交点の座標P$(x,\ y)$と常に一致する. よって,\ 点Pの{座}{標}${(x,\ y)}$がそのまま${(cosθ,\ sinθ)}$となる. $cosθ,\ sinθ$の値が,\ {長}{さ}$x,\ y$の変わりに{座}{標}$(x,\ y)$として求められるのである. この考え方を用いて$sinθ$と$cosθ$を定義しよう. 長さ1,\ ${x}$軸正方向からの回転角${θ}$の線分と単位円の交点Pの{座}{標}が${(cosθ,\ sinθ)}$ これが単位円を用いた三角比の定義である.\ もはや$θ$を鋭角に限る必要性はない. こうして自然な形で鋭角以外の角度にまで三角比の定義が拡張されるわけである. ただし,\ 数Iでは$0°θ180°$の範囲しか扱わない. 早速,\ 新たな定義に基づいて$sin120°,\ cos120°$の値を求めてみよう. $θ=120°$のときの線分と単位円との交点の座標P$(x,\ y)$が$(cos120°,\ sin120°)$}である. $x$軸に垂線を下ろすと,\ 斜辺が1で3つの角が$30°,\ 60°,\ 90°$の直角三角形ができる. 辺の比$1:3:2$より,\ この直角三角形の底辺の長さは$12$,\ 高さは${3}{2}$である. つまり, {底}{辺}1の直角三角形で考えると${tanθ}$は対辺${y}$の長さと一致する. ここで,\ 角度$θ$の頂点を原点に固定し,\ {底}{辺}の長さを1に保ったまま$θ$を変化させる. すると,\ ${x}$軸と垂直で点(1,\ 0)を通る直線${x=1}$が浮かび上がってくる. \ArrowLine{(.4,1.25)}{(.5,.865)} \end{pszahyou またこのとき,\ 対辺の{長}{さ}$y$は斜辺と直線$x=1$との交点Pの$y${座}{標}と常に一致する. よって,\ 点Pの${y}${座}{標}がそのまま${tanθ}$となる. この考え方を用いて$tanθ$を定義しよう. dy}{${x}$軸正方向からの回転角${θ}$の直線と直線${x=1}$との交点Pの${y}${座}{標}が${tanθ}$ $sinθ,\ cosθ$との関連など,\ 何かと便利なので単位円も合わせて図示するのが普通である. 新たな定義に基づいて$tan120°$の値を求めてみよう. 回転角$θ=120°$のときの直線と直線$x=1$との交点Pの$y$座標が$tan120°$}である. $x$軸の下側に底辺が1で3つの角が$30°,\ 60°,\ 90°$の直角三角形ができる. 辺の比$1:3:2$より,\ この直角三角形の高さは$3$である. 点Pの座標は$(1,\ -3)$となるから,\ $tan120°=-3}$と求められる. 直角三角形を用いた三角比の項目では$30°,\ 45°,\ 60°$の三角比の表を作成できた. ここでは${0°θ180°}$の有名角の三角比の表を完成させる. そのため,\ 単位円を用いた三角比の定義を元に$30°,\ 45°,\ 60°$以外の三角比を求める. まず,\ $90°$関連の角度($0°,\ 90°,\ 180°$)のときの座標は明らかであるからすぐに求められる. ただし,\ $90°$のときの直線は直線$x=1$と交点を持たないから,\ ${tan90°}$は存在しない. $135°,\ 150°$の三角比は$120°$の三角比と同様,\ 直角三角形の辺の比を利用して求められる. さて,\ この表の扱いが問題である.\ 正負を無視すると左右対称なので丸暗記も無理ではない. しかし,\ 数IIで範囲の制限がなくなることなどを考慮すると,\ 丸暗記は応用性に欠ける. かと言って,\ 毎回単位円を書いて直角三角形を作って辺の比を考えるのは非効率である. そこで,\ 値そのものだけ暗記して対応をその都度考えるという次に示す方法を推奨したい. とりあえず,\ ${90°}$関連の角度${(0°,\ 90°,\ 180°)}$の三角比は何も暗記する必要はない. その都度頭の中で単位円をイメージすればすぐに求められる. 次に,\ ${45°}$関連の角度${(45°,\ 135°)}$の${sin}$と${cos}$は,\ 正負を無視すると常に$1}{2$である. また,\ ${tan}$は,\ 正負を無視すると常に${1}$である. 後は頭の中で単位円をイメージして,\ 正か負かを考えるとよい. 例えば,\ $135°$は第2象限にあるから,\ 交点Pの$x$座標は負,\ $y$座標は正である. さらに,\ 直線OPと直線$x=1$の交点の$y$座標は負なので,\ $tan135°=-1$と求められる. 最後に,\ 紛らわしい${30°}$関連の角度${(30°,\ 60°,\ 120°,\ 150°)}$の三角比について考える. 後は頭の中で単位円をイメージし,\ 座標が0.5と0.87のどちらに近いかを二者択一する. 同時に,\ $45°$関連の角度の場合と同様にして正負も判断できる. 例として$150°$の三角比を求めよう.\ $150°$のときの図をイメージしてほしい. 交点Pの$x$座標は0.87,\ $y$座標は0.5に近い.\ また,\ $x$座標は負,\ $y$座標は正である. 後は,\ $sin,\ cos$の場合と同様,\ 単位円をイメージすると0.58と1.73の二者択一である. $150°$ならば交点Pの$y$座標は0.58に近く,\ さらに負なので$tan150°=-{1}{3}$と求まる. 以上の方法ならば,\ 数IIを学習する際に$0°θ180°$でない角度にも直ちに対応できる. また,\ $sinθ=12$から逆に$θ$を求める三角方程式などの問題にも大いに役立つ. とにかく角度と三角比を素早く変換できるようになるまで慣れることが重要である.
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