円に内接する四角形の面積ブラーマグプタの公式(裏技)の証明と円に内接しない四角形の面積ブレートシュナイダーの公式(裏技)

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四角形${ABCD}は円に内接しており,\ {AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ DA=d}\ である.$ $s={a+b+c+d}{2}$とおくとき,\ 面積$S={(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$となる ことを示せ. ${a=4,\ b=5,\ c=7,\ d=10}$のとき,\ 面積$S$を求めよ. triangle{ABC}に余弦定理を適用}すると$ { }$  {AC²=a²+b²-2 a bcos B$ { }${ADC}に余弦定理を適用}すると$ { }$  {AC²=c²+d²-2 c dcos(180°-B)=c²+d²+2cdcos B$ { }$a²+b²-2abcos B=c²+d²+2cdcos B\ より cos B={a²+b²-c²-d²}{2(ab+cd)$ { }$S=ABC+{ADC}=12absin B+12cdsin(180°-B)=12(ab+cd)sin B}$ { }${S}=12(ab+cd){1-cos}²B=12(ab+cd){1-a²+b²-c²-d²}{2(ab+cd)}²}$ { }${S}=12(ab+cd){2(ab+cd)}²-(a²+b²-c²-d²)2(ab+cd)}²$  [$A²-B²=(A+B)(A-B)$}]} { }${S}=142(ab+cd)+(a²+b²-c²-d²)}{2(ab+cd)-(a²+b²-c²-d²)$ { }${S}=14(a+b)²-(c-d)²}{(c+d)²-(a-b)²}$  [$A²-B²=(A+B)(A-B)$}]} { }${S}=14{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)}$ { }ここで,\ $a+b+c+d=2s}$とおく. { }${S}=14{2(s-d)2(s-c)2(s-b)2(s-a)}$ { }${S}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)$ 辺長が文字になっただけで,\ 通常の円に内接する四角形の面積の問題と本質的に同じである. まず,\ {2つの三角形に余弦定理を適用し,\ 対角線を2通りに表す.} {cos(180°-θ)=-cosθ}\ を適用すると,\ cosを求めることができる. cosからsinを求めると,\ 面積を求めることができる.\ {sin(180°-θ)=sinθ}\ である. このように説明するのは容易だが,\ 文字なので目標の形までの処理が大変である. ただし,\ 三角形の面積公式であるヘロンの公式の証明を習得済みならば,\ ほぼ同様である. 根号の中を通分後,\ A²-B²=(A+B)(A-B)を適用して因数分解する. 整理し直すと再びA²-B²=(A+B)(A-B)を適用して因数分解できる.\ 後はsで表せばよい. a+b+c-d=a+b+c+d-2d=2s-2d=2(s-d)  他も同様である. この円に内接する四角形の面積公式(裏技)は,\ {4辺が整数}の場合に特に有効である. 4辺の中に無理数があったりしてsが複雑な値になる場合,\ 三角比で求めた方が楽になる. 裏技ということは記述試験での無断使用は推奨されないということである. 以下,\ 関連公式を含め,\ 要点をまとめておく. {円に内接する(外接円をもつ)四角形の面積公式 ブラーマグプタの公式(裏技)} yellow}{.2}{dyellow}dyellow}{${s={a+b+c+d}{2}\ とすると {S={(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ $d=0$とすると,\ 以下の三角形の面積のヘロンの公式(裏技ではない)が得られる. yellow}{.2}{dyellow}dyellow}{${s={a+b+c}{2}\ とすると {S={s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 全ての三角形は円に内接する(外接円をもつ)から,\ すべての三角形に適用可能である. 円に内接しない四角形の面積公式 ブレートシュナイダーの公式(裏技)} .95}{ ${s={a+b+c+d}{2}\ とすると$ yellow}{.2}{dyellow}dyellow}{${S={(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos²{A+C}{2$ ブラーマグプタの公式を一般化したものである. 対角の和が綺麗な角度ならば有効だが,\ 試験で必要になることはまずなく,\ 鑑賞用である. $A+C=180°$のとき$cos{180°}{2}=cos 90°=0$より,\ ブラーマグプタの公式となる. おまけ 外接円と内接円を両方をもつ四角形(双心四角形)の面積 ${S={abcd}$ 内接円をもつ四角形の対辺の和は等しいから $a+c}=b+d}=s$ { }よって $s-a=c,\ s-b=d,\ s-c=a,\ s-c=b$ { }$S={(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}={cdab}={abcd}$
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