対称面をもつ四面体の体積

OA=25,\ OB=OC=5,\ AB=AC={35},\ BC=23}$\ である四面体OABCの 体積$V$を求めよ. 対称面をもつ四面体の体積 一般に,\ 四面体の6辺の長さから体積を求めるのは簡単ではない. よって,\ 体積の問題で出題される四面体は何らかの特徴をもっている可能性が高い. 正四面体および3辺の長さが等しい四面体の体積の求め方についてはすでに扱った. 本項では,\ もう1つの重要パターンである対称面をもつ四面体の体積の求め方を紹介する. 以下の扱い方を知っているだけで,\ 思いの外簡単に求めることが可能になる. 対称面で切断すると,\ 切断面内と垂直方向に必要な図形量が現れる. ${辺BCの中点をMとするとOM⊥ BC,\ AM⊥ BC}であるから,\ }{平面OAM⊥ BC$である. 三平方の定理より  三平方の定理より三角錐B-OAM)+(三角錐C-OAM) 本問の四面体は,\ {平面{OAM}に関して対称}である. OAの中点をNとしたとき平面BNCに関しても対称な四面体}なので,\ こちらで考えてもよい.} 重要なのは,\ {平面OAMと直線BCが垂直をなす}ことである. {直線ℓが平面α上の平行でない2直線と垂直ならば,\ 直線ℓと平面αは垂直}といえるのであった. { OBCと ABCは二等辺三角形である.} また,\ 一般に{二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する.} {直線BCは平面OAM上の2直線OM,\ AMと垂直なので,\ 平面OAMと直線BCは垂直である.} よって,\ 対称面で分割してできた立体は,\ 底面がOAMで高さがBMの三角錐である. ここまでの認識があれば,\ 後は{OAM}の面積を求めるだけである. 3辺の長さ→cos→sin→面積という頻出の流れで求めることになる. {BM=CM=3より,\ OBMと ABMに三平方の定理を適用するとOM,\ AMが求められる.} 正四面体も当然対称面をもつ四面体の一種であるから,\ 体積を同様にして求めることができる.
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