正十二角形の周長と面積、多角形の求積の原則

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ところで、正十二角形の周長・面積ときたら、あの伝説を思い出さざるを得ない。

半径1の円に内接する正十二角形の周の長さLと面積Sを求めよ.$ $1辺の長さが1の正十二角形の面積Sを求めよ.$ {正十二角形の周長と面積 正十二角形の1辺の長さをlとすると,\ 余弦定理}より 多角形の面積を求めるときの原則は,\ {三角形に分割}である.\ すると,\ 三角形の問題に帰着する. 極めて単純な原則であるにもかかわらず,\ 学生の認知度は低い. 例えば,\ 「台形の面積の公式忘れた」という学生が多いが,\ そもそも覚える必要があるのだろうか. 対角線を引いて三角形に分割してしまえば,\ (上底)(高さ)2+(下底)(高さ)2である. つまり,\ (上底+下底)(高さ)2ということである. 多角形によっては,\ どのように三角形に分割するかが重要になる. 正n角形では,\ 中心を通る対角線を引き,\ {n個の合同な三角形に分割する}のが基本である. 正十二角形の場合は,\ 12個の頂角30° の二等辺三角形ができる. 後は,\ 余弦定理を適用すると1辺の長さが求まる.\ このとき,\ 2重根号をはずす必要が生じる. {X2{Y\ は,\ a+b=X,\ ab=Yを満たすa,\ b\ (a>b)を探すと a b\ とできるのであった. 中の根号の前は必ず2でなければならないので,\ 必要ならば無理矢理2にする. 面積は,\ 三角形の面積の公式S=12bcsin Aを適用した後に12倍するだけである. なお,\ cos30°={3}{2},sin30°=12\ である. 正十二角形の外接円の半径をa}とする.$ { }余弦定理}より 面積を求めるには,\ 2辺の長さとその間の角が必要である. {二等辺三角形}であることに着目して30°を挟む2辺の長さaとおき,\ 余弦定理を適用すればよい. a²\ の値が求まるが,\ 少し先を見越すとaを求める必要はない.
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