1辺の長さが$a$の正八面体について,\ 次の値を求めよ.
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(1)\ \ 表面積$S$ & (2)\ \ 体積$V$ & (3)\ \ 外接球の半径$R$
(4)\ \ 2面のなす角の余弦 & (5)\ \ 内接球の半径$r$
正八面体の計量
正八面体の各面は正三角形である.
S=12ab\sinθ\,を利用する.
正八面体の計量では,\ 断面ABCD,\ PBQD,\ PAQC}が正方形}であることが重要である.
正八面体をこの断面で分割すると,\ 2つの正四角錐}(底面が正方形,\ 側面が二等辺三角形)となる.
よって,\ (正八面体の体積V)=(正方形ABCDの面積)×(高さOP)×13×2}\,と求められる.
高さOP}は,\ 断面の正方形PAQC}の対角線の長さの半分}である.
△ AOP}が直角二等辺三角形}であることに着目し,\ 辺の比が1:1:√2\,であることを利用してもよい.
1辺の長さがaの正八面体は,\ 1辺の長さが√2aの立方体に埋め込むことができる}(下図).
これを考慮すると,\ 断面ABCD,\ PBQD,\ PAQC}が正方形であることは当然であろう.
Oが外接球の中心(8頂点までの距離が等しい点)}であるから余弦定理より
2面のなす角の定義}は,\ 2つの平面の交線に垂直な2直線(法線)のなす角}である.
対称性よりどの面のなす角も等しいので,\ △ PABと△ QAB}のなす角を求めることにする.
正三角形なので,\ 頂点P,\ Qから中線(頂点と中点を結ぶ線分)を引くと,\ ABと垂直に交わる.
辺ABは,\ 2つの平面△ PABと△ QABの交線である.
PM⊥ AB,\ QM⊥ ABとなるから,\ ∠ PMQが2面のなす角}である.}
∠ PMQ}を求めるには,\ 3点P,\ M,\ Q}を含む平面を取り出して考える}必要がある.
正八面体の3点P,\ M,\ Q}を含む断面は,\ ひし型PMQNである(正方形ではないので注意！).
ひし形PMQN}の1辺の長さは,\ 正八面体の面(正三角形)の高さである.
△PMQ}の3辺の長さがわかるから,\ 余弦定理で\cos∠PMQ}を求めることができる.
(5)\ \ 中心Oから面PABに下ろした垂線の足をHとする.
\ \ 対称性より点Hは正八面体と内接球の接点であり,\ 平面PMQN上にある.
O}が内接球の中心(8つの面までの距離が等しい点)}である.
対称性より,\ 8個の接点のうち4個が平面PMQN}上にある.
結局,\ OH}の長さを求めればよく,\ 直角三角形の相似}を利用できる.
∠ OPM=∠ HPO\ かつ\ ∠ POM=∠ PHO=90°\ (2角が等しい)より,\ △ POM∽△ PHOである.}
正四面体の内接球の半径を求める場合と同様に,\ 体積から逆算する}ことも可能である(別解).
正八面体の体積は既知なので,\ 内接球の半径rを用いて正八面体の体積を表せばよい.
三角錐O-PAB}の体積は,\ 底面PAB}の面積\,√3}{4}a^2,\ 高さrを用いて表せる.
正八面体の体積はこれの8倍である.
